5. Повторные интегралы

Рассмотрим функцию z = f (x, y) определенную в некотором прямоугольнике (П) = {a   х   b,  c   y   d} (рис. 2.2).

Зафиксируем произвольное х из отрезка [a, b]. Тогда на отрезке АВ функция f (x, y) является функцией от одной переменной у  [c, d]. Пусть существует определенный интеграл от данной функции по отрезку [c, d], который зависит от выбора переменной х и является функцией от переменной х

(7)

Функция определена на отрезке [a, b]. Пусть существует определенный интеграл от данной функции по отрезку [а, b]

Этот интеграл называется повторным интегралом от функции f (x, y) по прямоугольнику (П) и обозначается

(8)

Аналогично вводится понятие повторного интеграла

(9)

Пример 1. Найти повторный интеграл

Решение.

Найдем интеграл , считая х постоянной.

Тогда

6. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области

Теорема 3. Пусть функция f (x, y) определена в прямоугольнике (P) = {a   х   b,  c   y   d} и для этой функции существует двойной интеграл

Пусть для любого значения x из отрезка [a, b] существует определенный интеграл

Тогда для функции f (x, y) существует и повторный интеграл

и выполняется равенство:

(10)

Доказательство.

Разобьем отрезки и , определяющие прямоугольник (P), на части точками:

на n m частичных прямоугольников

(k = 1, 2, …, n;  i = 1, 2, …, m),

площади которых .

Пусть M _k i  и m _k i  точная верхняя и точная нижняя границы функции f (x, y) на частичном прямоугольнике (P_k i). Тогда на этом прямоугольнике выполняется неравенство

. (11)

Зафиксируем произвольно из отрезка . Проинтегрируем неравенство (11) по y на промежутке (считая ). Получим

по свойству 9 определенных интегралов (п.2, §3.2, [10]).

Просуммируем данное неравенство по i от 1 до n

Так как , то неравенство будет иметь вид

(12)

Умножим неравенство (12) на и просуммируем по k от 1 до n. Получим

.

Учитывая, что

,

где s  нижняя сумма Дарбу для функции f (x, y),

,

где S  верхняя сумма Дарбу для функции f (x, y),  интегральная сумма для функции I (x), получим неравенство

.

Перейдем к пределу при и . Пусть d  наибольший из диаметров прямоугольников (P _{k i}), тогда . Так как для функции f (x, y) существует двойной интеграл, то . Кроме того

,

значит, 

Замечание 1. Пусть для функции f (x, y) существует двойной интеграл

и пусть для любого значения у из отрезка [с, d] существует определенный интеграл

K(x) =  ,

тогда для функции f (x, y) существует и повторный интеграл

и выполняется равенство

(13)

Замечание 2. Если функция f (x, y) непрерывна в прямоугольнике (P), то существование двойного интеграла и двух повторных интегралов для этой функции обеспечено, и выполняется равенство

Замечание 3. Так как то двойной интеграл по прямоугольнику (Р) обозначается следующим образом:

(14)

или .

Пример 2. Найти .