2. Определение двойного интеграла

Введем точное понятие двойного интеграла с более общей точки зрения. Рассмотрим функцию z = f (x, y) определенную в некоторой квадрируемой области (Р) двумерного евклидова пространства R² (функция z = f (x, y) не обязательно является непрерывной). Разобьем область (Р) сетью кусочно-непрерывных кривых на n частичных областей (Р_i) (i = 1, 2, …, n) площади которых равны В каждой частичной области (Р_i) выберем произвольным образом точку M_i (_i, _i) и найдем значение функции в этой точке: z (M_i) = f (_i, _i). Составим сумму

которую будем называть интегральной суммой для функции f (x, y).

Обозначим через  наибольший из диаметров всех областей (Р_i).

Определение 1. Число I называется конечным пределом интегральных сумм при , если для любого существует такое , что для любого разбиения области (Р) на части (Р_i), при котором , выполняется неравенство |   I | <  .

Определение 2. Предел

(4)

называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области (Р) и обозначается символом

Функция, имеющая конечный предел (4), называется интегрируемой в области (Р).

3. Условия существования двойного интеграла и классы интегрируемых функций

Далее мы будем рассматривать только ограниченные в области (Р) функции.

Как и в случае функции от одной переменной, здесь также удобно ввести в рассмотрение суммы, которые называются нижней и верхней суммами Дарбу.

Обозначим через m_i и M_i  точную нижнюю и точную верхнюю грани функции  f (x, y) в области (Р_i). Тогда суммы

и

называются нижней и верхней суммами Дарбу для функции f (x, y) в области (Р).

Теорема 2. Для того, чтобы функция f (x, y) была интегрируема в области (Р), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

. (5)

Определение 2. Колебанием функции f (x, y) в области (Р_i) называется величина

.

Тогда равенство (5) можно записать следующим образом:

(6)

Замечание. Теоремы 1 и 2 доказываются аналогично таким же теоремам для определенного интеграла.

Классы интегрируемых функций.

1. Всякая непрерывная в области (Р) функция f (x, y) интегрируема в этой области.

2. Если ограниченная в области (Р) функция f (x, y) имеет разрывы разве лишь на конечном числе кривых с нулевой площадью, то она интегрируема.

4. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов

1. Если произвольным образом изменять значения интегрируемой в области (Р) функции f (x, y) вдоль какой-либо кривой (L) с нулевой площадью (с тем лишь условием, чтобы и изменённая функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в (Р) и ее интеграл равен интегралу от f (x, y).

Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа кривых с нулевой площадью.

2. Если область (Р), в которой задана функция f (x, y), кривою (L) с нулевой площадью разбита на две области и , то из интегрируемости функции f (x, y) во всей области (Р) следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно — из интегрируемости функции f (x, y) в обеих областях и вытекает интегрируемость этой функции в области (Р). При этом выполняется равенство

.

3. Если функции f (x, y) и g (x, y) интегрируемы в области (Р), то функция также будет интегрируема в этой области, и при этом выполняется равенство

4. Если для интегрируемых в области (Р) функций f (x, y) и g (x, y) выполняется неравенство f (x, y) g (x, y), то

5. Если для интегрируемой в области (Р) функции f (x, y) выполняется неравенство m  f (x, y) M, то

где  площадь области (Р)

6. Если функция f (x, y) непрерывна в области (Р), то в области (Р) существует точка , такая что

Это наиболее часто встречающаяся форма теоремы о среднем для двойного интеграла.