Урновая схема

Придумайте свою урновую схему и опишите ее в виде вероятностного пространства

Урновой схемой называется схема выбора, при которой в урне содержатся в некотором количестве шары разных цветов и после вынимания шара (или нескольких шаров) какого либо цвета в урну добавляются шары того же или иного (по некоторому правилу) цвета. Эти схемы можно использовать для описания более сложных опытов.

Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов

Пусть пространство элементарных исходов конечно или счетно. Пусть сигма-алгебра событий наибольшая (содержит все подмножества пространства элементарных исходов). Тогда любое подмножество пространства элементарных исходов является событием, содержит не более счетного числа элементарных исходов, и любая вероятность может быть представлена следуюшим образом:

Если определить функцию

по формуле

,

то предыдущее равенство превратится в следующее

Таким образом, для дискретного пространства, если известны вероятности всех элементарных исходов, то можно найти вероятность любого события. Пользуясь счетностью пространства элементарных исходов можно перенумеровать все элементарные исходы

и определив последовательность

получим, что эта последовательность является последовательностью общих членов сходящегося числового ряда с суммой равной 1

Ряд

состоит из неотрицательных чисел, следовательно сходится абсолютно, и его сумма не зависит от перестановки (перенумерации) членов.

Таким образом с любой вероятностью на дискретном пространстве можно связать сходящийся числовой ряд с неотрицательными членами и единичной суммой.

Если исходная сигма- алгебра не наибольшая, то все сказанное остается верным. Таким образом на на счетном пространстве элементарных исходов существуют лишь вероятности указанного вида

Можно доказать обратное – с любым числовым рядом, обладающим указанными свойствами, можно связать вероятность по формуле

Дискретное распределение и вероятность

Последовательность p_k называется дискретное распределение (вероятностей), если

Вероятность, определяемая формулой

называется дискретной вероятностью.

Равномерное распределение - классическая вероятностная модель

Распределение на конечном пространстве называется равномерное распределение, если

т.е., задав на конечном пространстве равномерное распределение, получим классическую вероятностную модель.

Биномиальное распределение – схема Бернулли

Пусть

- некоторые параметры (параметры распределения)

Воспользовавшись определением pk и биномом Ньютона, нетрудно проверить, что

Распределение на конечном пространстве называется биномиальное распределение, если

Указанное распределение возникает в следующей вероятностной схеме, называемой схема Бернулли.

Рассмотрим последовательность из n независимых (с точки зрения здравого или физического смысла) опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие A (“успех”). Пусть нам известна вероятность p , того что событие А произойдет в одном опыте. Поставим задачу найти вероятность того, что в n опытах событие A произойдет ровно k раз.

Построим вероятностную модель этого эксперимента.

Если обозначить 1 наступление события A, то моделью одного опыта будет следующее вероятностное пространство:

p₁(1)=p, p₁(0)=1-p

Элементарный исход, описывающий эксперимент целиком, естествено определить как n-мерный двоичный вектор

Проверьте, что таким образом заданная функция является распределением и что события независимы в совокупности

Определим вероятность элементарного исхода так, чтобы исходы отдельных опытов были независимы в совокупности. где количество появлений события A

Теперь мы в состоянии подсчитать вероятность того, что в n опытах событие A произойдет ровно k раз. Обозначим это событие

Тогда

Говорят, что данная формула дает вероятность получить k успехов в n опытах. Отметим, что в крайних случаях, когда p=1 или p=0, неопределенность отсутствует – всегда либо все, либо ноль опытов заканчиваются успехами.