Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова

Развитие теории вероятностей как науки началось в середине XVII века в связи с расчетом шансов в азартных играх. Первые теоремы были доказаны Я.Бернулли и Муавром. В 1812 году появился первый большой трактат по теории вероятностей Лапласа. В это время теория вероятностей начинает применяться в естествознании, технике и военном деле (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы). Во второй половине 19 века вероятностные методы уже используются в демографии, статистике и страховании. Первым российским математиком, внесшим значительный вклад в теорию вероятностей, был Чебышев, работы которого были продолжены Марковым и Ляпуновым.

В наше время

Современный период в развитии теории вероятностей начинается с работ Бернштейна, Бореля и Колмогорова. Теория вероятностей стала математической наукой в 1933 году после выхода книги Колмогорова "Основные понятия теории вероятностей", в которой предложена аксиоматика теории вероятностей. С помощью этой аксиоматики удалось объяснить многочисленные парадоксы теории вероятностей, в ее рамках теория вероятностей развивается до сих пор. Наиболее бурно развивающиеся сейчас разделы теории вероятностей это теория случайных процессов, стохастическая геометрия, статистические приложения теории вероятностей.

Необходимость теории вероятностей как науки

Теория вероятностей необходима тогда, когда требуется дать количественную оценку неопределенности, возникающей при анализе случайных явлений, предсказать наиболее вероятный исход опыта, оценить средние значения случайных факторов и отклонения от них, исследовать взаимосвязь явлений, между которыми нет жесткой зависимости. Теория вероятностей позволяет дать специальный язык для описания некоторых объектов реального мира. Методы теории вероятностей помогают анализировать большие объемы статистических данных и предлагать для них математические модели. Отказ от использования методов теории вероятностей при анализе даже простейших задач со случайными факторами или неправильное их применение может привести к значительным количественным ошибкам и ложным качественным заключениям.

Возможность анализа случайных явлений

Случайное явление – это представитель совокупности явлений, исход каждого из которых в отдельности непредсказуем, но которые все вместе подчиняются некоей общей закономерности.

Возможность анализа случайных явлений и получения точных количественных оценок основана на существовании объективной закономерности, которой подчиняется совокупность случайных явлений, рассматриваемая в целом. Например, невозможно предсказать, какая сторона монеты выпадет при конкретном бросании, но из опыта известно, что при большом числе бросаний симметричной монеты количество гербов и решек будет приблизительно одинаково.

Расчет шансов и прогнозирование последствий

Первые задачи на расчет вероятностей были связаны с анализом азартных игр. Знание шансов различных вариантов выпадения игральных костей может помочь в правильном определении ставок, знание вероятности появления в прикупе нужной комбинации карт может помочь принять правильное решение о выборе варианта игры. Первые ошибки в расчетах были связаны также с азартными играми.

Типичные ошибки при решении вероятностных задач без применения теории вероятностей

Ошибка шевалье де Мере (XVII век)

Рассмотрим опыт, состоящий в бросании трех симметричных игральных костей. Наблюдается сумма очков на их верхних гранях.

Вопрос:

Какое значение суммы вероятней – 11 или 12? Подсчет де Мере показывал, что шансы одинаковы, однако на опыте 11 выпадало чаще. Правильный ответ на вопрос Почему? дал Паскаль.

Ошибка Д’Аламбера

В семье из двух детей могут быть два мальчика, две девочки или мальчик и девочка. Следовательно, вероятность того, что в семье есть мальчик, равна (по Д'Аламберу) 2/3. На практике, однако, доля семей с двумя детьми, из которых один мальчик, близка к 1/2 . Почему?

Задача о днях рождения

Более половины всех типичных (24-30 студентов) студенческих групп содержат как минимум двух студентов с одинаковыми днями рождения. Опрос студентов о шансах такого совпадения дает величину вероятности порядка одной сотой - одной десятой. Почему вероятность > 0.5?

Понимание природы вещей и причин явлений

В результате занятий теорией вероятностей возникает так называемая вероятностная интуиция, помогающая лучше понимать природу окружающего мира и причины явлений. Принятие решений становится более обоснованным.

Парадокс движения автобусов

Интервал движения автобусов в среднем 10 минут. На первый взгляд кажется, что среднее время ожидания автобуса на остановке – 5 минут. Однако на практике оно больше, и может составлять те же 10 минут или даже больше. Почему?

Игра с тремя разными костями

Правила игры просты: На 18 гранях трех игральных костей проставлены разные числа от 1 до 18. Игрок предлагает Вам на выбор любую игральную кость из трех. После этого он выбирает себе одну из оставшихся и предлагает Вам бросить эту пару костей. Если на Вашей кости выпадет больше, то выигрыш Ваш. Вы имеете полную возможность выбрать "наилучшую" кость из трех, попробовать снова и снова. Почему же Вы чаще проигрываете, чем выигрываете?