Функция распределения случайной величины

Если случайная величина имеет распределение с функцией распределения F, то говорят, что F – функция распределения случайной величины. В этом случае, очевидно,

Если нам будет важно отметить, какой случайной величине соответствует функция распределения F, будем отмечать это так

Непрерывные распределения на прямой

Распределение называется непрерывным, если его функция распределения непрерывна. Случайная величина, имеющая непрерывное распределение, обычно называется непрерывная случайная величина.

Для дискретных распределений мы вычисляли функцию распределения, зная вероятность. Теперь, наоборот, мы будем задавать функцию распределения и исследовать свойства получающейся вероятности.

Равномерное распределение на отрезке.

Рассмотрим следующую функцию распределения

Какими свойствами обладает вероятность, соответствующая этой функции распределения?

Нетрудно увидеть, что вероятность отрезка, целиком лежащего внутри отрезка [0,1], равна его длине.

В общем случае для любого отрезка

его вероятность равна длине его пересечения с отрезком [0,1]

Вероятность одноточечного множества равна нулю.

Такая вероятностная мера называется мера Лебега на отрезке [0,1] или равномерное распределение на отрезке [0,1].

Равномерное распределение применяется в тех случаях, когда исход опыта – абсолютно случайная точка отрезка [0,1], например, случайный момент времени. Во многих языках программирования есть функция, возвращающая случайное число из отрезка [0,1] (rand(), random() и т.п. ) – датчик случайных чисел. Используя равномерное распределение, можно моделировать другие распределения, например, бернуллиевское. Действительно, если

равномерно распределена на отрезке [0,1], то

случайная величина

имеет

бернуллиевское распределение с параметром p.

Рассмотрим следующую функцию распределения

Покажите, что если , то . Нарисуйте график соответствующей функции распределения.

эта функция распределения называется функция распределения равномерного распределения на отрезке [a,b]. Случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [a,b], называется равномерно распределенная на отрезке [a,b] случайная величина. Для равномерного распределения используют обозначение

Мера Лебега на прямой.

Можно показать, что существует (не вероятностная) мера на прямой, которая приписывает каждому отрезку его длину. Эта мера называется мера Лебега (на прямой). В дальнейшем будем обозначать эту меру

Плотность распределения

В тех случаях, когда функцию распределения можно представить в виде интеграла (Римана) от неотрицательной функции

функцию f называют плотностью, соответствующей функции распределения F, или плотностью F .

Если функция распределения имеет плотность, то эта функция распределения непрерывна и такие функции распределения называют абсолютно непрерывными.. Заметим, что представление функции распределения в виде интеграла от некоторой функции неоднозначно, поэтому у одной функции распределения может быть несколько различных плотностей. Впрочем, различаться они могут только в не очень большом числе точек. Поэтому обычно плотностью называют наиболее прилично ведущую себя функцию f – непрерывную или почти непрерывную. Ее и приводят в различных справочниках. Нарисуем, например, график плотности равномерного на отрезке [0,2] распределения.