Расчет надежности при последовательном соединении элементов

Системой с последовательным соединением элементов назовем такую систему из n элементов, в которой отказ любого из этих элементов приводит к отказу всей системы.

Рассчитаем надежность системы, составленной из 3 последовательно соединенных одинаковых независимых элементов (вероятность отказа каждого - 0,1)

Действуя по аналогии с предыдущим примером, построим пространство элементарных исходов и определим их вероятности. Отказ системы возникает при всех исходах кроме одного

Таким образом, вероятность безотказной работы этой системы равна

что значительно меньше чем вероятность безотказной работы одного элемента.

Заметим, что если рассматриваемая система является частью более сложной системы, то можно при расчетах надежности заменить эти три элемента одним, с вероятностью отказа 0,271.

Расчет надежности сложной системы.

Если сложную систему удается представить в виде последовательно-параллельного соединения элементов, то ее надежность можно рассчитать последовательно рассчитывая надежности ее частей и заменяя каждую часть элементов одним элементом.

На рисунке приведене пример такой системы. На элементах указаны вероятности их отказа.

Заменим три последовательно соединенных верхних элемента одним, с вероятностью отказа 0,352 = 1-(1-0,1)*(1-0,2)*(1-0,1), а два параллельных внизу одним с вероятностью отказа 0,09=0,3*0,3. Тогда получим следующую схему

Заменяя сначала последовательно соединенные элементы одним с вероятностью отказа 0,0991=1 - (1-0,09)*(1-0,01), затем получившиеся параллельно соединенные элементы одним с вероятностью 0,0348832 =0,352 * 0,0991 получим

Таким образом вероятность безоказной работы системы равна 1-0,0348832 =0,9651168.

Замечания к примерам.

1. В предыдущих примерах элементарный исход представлял собой вектор, координаты которого были однородны – принимали значения из одного и того же множества. Нет никаких ограничений при построении вероятностных пространств с использованием понятия независимости для объединения разнородных опытов – например бросания несимметричной монеты и симметричной игральной кости одновременно. В этом случае первая координата имеет два значения (1 – герб) , вторая - шесть и

Здесь p – вероятность выпадения герба.

2. Замена параллельно или последовательно соединенных элементов одним является частным случаем т.н. отображения вероятностных пространств. Действительно, для расчета вероятностей отказа нам пришлось описать исходную систему с n элементами элементарным исходом с n двоичными координатами ( по числу элементов). При этом число возможных состояний системы равно

С другой стороны с точки зрения надежности система может находится только в двух состояниях – исправна или неисправна (отказ). Поэтому для описания надежности системы достаточно двух элементарных исходов – 0,1. Еще раз заметим, что один опыт, с разной степенью детальности может быть описан разными пространствами элементарных исходов.

Каждому элементарному исходу (состояниям элементов) в первом пространстве соответствует либо 0 (отказ системы) либо 1 (исправность системы) во втором пространстве.

Таким образом мы имеем два вероятностных пространства, основное

на котором мы задали вероятность с использованием детальных представлений об опыте и второе (пространство значений)

,

B – наибольшая сигма-алгебра.

Во втором пространстве мы определили вероятность с помощью отображения (функции )

которая каждому элементарному исходу первого опыта ставит в соответствие элементарный исход второго опыта.

Замена сложной системы одним элементом равносильна указанному отображению пространств. Вероятность на втором пространстве не определяется независимо, а вычисляется с использованием вероятности, заданной на основном пространстве и отображения

Если изменить вероятность на основном пространстве или отображение, то изменится и вероятность на пространстве значений. Например, при изменении надежности отдельных элементов изменится вероятность P, при изменении схемы соединения – отображение.

Для того чтобы отметить зависимость вероятности на пространстве значении от основной вероятности и отображения ее обозначают

например