Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
Покажите, что таким образом заданная функция является распределением |
Распределение на пространстве натуральных чисел
называется распределение Паскаля , если
Здесь m – произвольное натуральное число. |
Указанное распределение возникает в следующей вероятностной схеме, называемой схема испытаний до m-того успеха.
Рассмотрим последовательность из независимых (с точки зрения здравого или физического смысла) опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие A (“успех”). Пусть нам известна вероятность p , того что событие А произойдет в одном опыте. Вероятность того, что в m – тый раз событие A произойдет в k – том опыте дается формулой
Действительно , в первых k-1 опытах должен быть ровно m-1 успех и в последнем, к-том, обязательно успех.
Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
Пусть
некоторый параметр.
Распределение на пространстве неотрицательных целых чисел называется пуассоновское распределение (распределение Пуассона), если
Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения при специальном поведении параметров (n,p) биномиального распределения Это будет показано в дальнейшем. Заметим, что биномиальное распределение можно рассматривать как распределение на пространстве неотрицательных целых чисел, положив
Определим на сигма-алгебре всех подмножеств неотрицательных целых чисел две вероятности P и Pn ,, соответствующие пуассоновскому и биномиальному распределениям :
Теорема Пуассона.
Пусть параметры биномиального распределения изменяются следующим образом
Тогда
т.е. биномиальная вероятность стремится к пуассоновской вероятности.
Доказательство.
Действительно, сгруппировав множители входящие в pk,n следующим образом
получим
Доказательство завершено.
При больших k рассчитать пуассоновскую вероятность гораздо легче, биномиальную. Пуассоновское распределение используется для приближения биномиального распределения в тех случаях, когда количество испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала.
Независимость событий и условная вероятность. Построение моделей.
При построении дискретных вероятностных моделей достаточно определить распределение на множестве элементарных исходов. Для того, чтобы определить вероятность элементарного исхода часто используют понятие независимости и понятие условной вероятности.
Независимость Различие между независимостью попарно и в совокупности. Пример Бернштейна
Данный пример показывает, что существуют попарно независимые события , которые не являются независимыми в совокупности.
Рассмотрим тетраэдр, грани которого покрашены в три цвета следующим образом:
1 грань – синяя
2 грань – зеленая
3 грань – желтая
4 грань разделена на три сектора – синий, зеленый и желтый.
Опыт состоит в бросании тетраэдра и наблюдении цвета выпавшей (нижней) грани.
Обозначим события
A – на грани есть синий цвет
B – на грани есть зеленый цвет
C – на грани есть желтый цвет
Тогда, используя симетричность тетраэдра и классическую вероятностную модель получим:
Для исключения неоднозначности при интерпретации понятия независимости в теории вероятностей при построении моделей используется, в основном, независимость в совокупности, как более сильная. В дальнейшем говоря о независимости мы, если не указано противное, будем подразумевать независимость в совокупности.