2 Расчет линейных электрических цепей синусоидального тока

При расчете линейных электрических цепей синусоидального тока применяется символический (комплексный) метод, который основан на изображении синусоидальных функций времени (напряжений токов ) комплексными величинами (комплексы действующих значений или комплексные амплитуды и ). Для определения комплексных напряжений и токов решаются системы линейных комплексных алгебраических уравнений (СЛКАУ), составленные по законам Кирхгофа, МКТ, МУП.

В MathСad можно выполнять вычисления с комплексными числами, которые обычно представляются в алгебраическом виде: или , где − действительная часть комплексного числа , – его мнимая часть, а символы i или j обозначают мнимую единицу, то есть корень квадратный из –1. В теории цепей мнимая единица обозначается символом j. Поэтому перед использованием операций с комплексными числами нужно вначале выбрать символ j для обозначения мнимой единицы, для этого открываем диалоговое окно “Result Format”, нажимаем “Display Options” и выбираем Imaginary value j, или можно присвоить j значение корня квадратного из −1.

Рисунок 2.1 - Диалоговое окно “Result Format”

Чтобы перевести в MathСad комплексное число из показательной в алгебраическую форму достаточно ввести комплексное число в показательной форме и нажать знак =.

Перевод комплексного числа из алгебраической формы в показательную осуществляется следующим образом: записывают комплексное число в алгебраческой форме и, для определения модуля комлексного числа, вычисляют его абсолютное значение , аргумент определяется по формуле arg( ):

Примечание:

− в MathCad не будем обозначать комплексные величины точкой сверху или подчеркиванием.

− в MathCad значения углов (как аргумента тригонометрических функций, а также, как значение обратных тригонометрических функций), по умолчанию, задаются в радианах. Чтобы перевести значение угла из градусов в радианы, следует значение угла, записанного в градусах, умножить на “deg”:

− чтобы перевести радианы в градусы нужно поделить на “deg”:

0,983 – это значение угла в радианах, соответствующее 56,31градусам.

Преобразовать радианы ( ) в градусы ( ) можно так же используя известную пропорцию:

,

отсюда можно найти угол в радианах ( ), если задан угол в градусах( ):

и значение угла в градусах ( ) по заданному значению угла в радианах( ):

.

Для решения системы линейных комплексных алгебраических уравнений (СЛКАУ) в MathCad применяются те же способы, которые используются

для расчета СЛАУ в линейных электрических цепях постоянного тока, и подробно описанные в разделе 1.

Ниже рассмотрены различные способы решения в MathCad СЛКАУ:

– способ 2.1. Решение с помощью вычислительного блока given–find;

– способ 2. 2. Решение с помощью оператора solve;

– способ 2.3. Решение СЛКАУ с помощью оператора lsolve;

– способ 2.4. Решение путем обращения матрицы коэффициентов.

Задача 2.1. Электрическая цепь (см. рисунок 2.2) содержит синусоидальные источники ЭДС и синусоидальный источник тока:

Параметры цепи: , , Ом,

Рисунок 2.2 - Схема цепи синусоидального тока

Требуется выполнить следующее:

− рассчитать комплексные токи во всех ветвях схемы методом контурных токов;

− рассчитать комплексные токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

Расчет комплексных токов в ветвях цепи методом контурных токов

Определим комплексные сопротивления каждой ветви:

Нарисуем эквивалентную схему для расчета цепи синусоидального тока комплексным методом (см. рисунок 2.3). В независимых контурах цепи введем неизвестные контурные токи . Один контурный ток выберем проходящим через источник тока, тогда этот контурный ток совпадёт с током источника тока _.

Рисунок 2.3

Для двух неизвестных контурных токов составим уравнения:

(2.1)

Перенесём в правую часть уравнения, получим:

(2.2)

Комплексные действующие значения ЭДС и комплексное действующее значение тока источника тока равны:

Обозначим:

Подставим в уравнение (2.2), получим:

( 2.3)

Уравнение контурных токов в матричной форме имеет вид:

Z_kI_k=E_k, (2.4)

где Z_k= – квадратная матрица контурных сопротивлений,

E_k– матрица-столбец контурных ЭДС, учитывающая источники ЭДС и эквивалентные ЭДС от источников тока

E_k= ;

I_k – матрица-столбец контурных токов

I_k= .

Решая систему уравнений (2.3), или уравнение контурных токов в матричной форме (2.4) в MathCad одним из приведенных способов, определим контурные токи: (0,703+j1,538)А, (-0,465-j1,176)А.

Токи в ветвях представим в виде алгебраической суммы контурных токов:

Расчет комплексных токов методом узловых потенциалов.

Примем потенциал узла 3 электрической цепи (см. рисунок 2.3) равным нулю: и запишем систему уравнений по методу узловых потенциалов:

(2.5)

где , , ,

Обозначим:

Подставим в уравнение (2.5), получим:

(2.6)

Уравнение по методу узловых потенциалов в матричной форме имеет вид:

Y_yφ_y=J_y, (2.7)

где Y_y= − квадратная матрица узловых проводимостей,

J_y – матрица-столбец узловых токов: J_{y= ;} – матрица-столбец узловых потенциалов: .

Решая уравнения узловых потенциалов в MathCad одним из ниже приведенных способов, найдём комплексные потенциалы узлов электрической цепи: ,

Токи рассчитаем по закону Ома:

Решение системы контурных (2.3), (2.4) и узловых уравнений (2.6), (2.7) в MathCad различными способами.

Присвоим параметрам цепи и источникам ЭДС и тока числовые значения, заданные в задаче:

Присвоим:

Способ 2.1. Решение СЛКАУ с помощью блока given–find:

− целесообразно задать начальные приближения для всех неизвестных;

− напечатать ключевое слово given (дано);

− ввести уравнения, входящие в систему, ниже ключевого слова given; между левой и правой частями уравнения поставить жирный знак равенства, для его ввода используют сочетание клавиш Ctrl = или выбирают его в панели Boolean (Булевый, Логический);

− напечатать функцию find(x₁, x₂, x₃ …), где x₁, x₂, x₃ … — неизвестные переменные (например, контурные токи или узловые потенциалы) и нажать знак =; можно после find(x₁, x₂, x₃ …) поставить команду float, щелкнуть левой кнопкой мыши по пустому месту, затем нажать знак = (в этом случае можно не задавать начальные приближения для всех неизвестных,) .

Решение системы уравнений по методу контурных токов (2.3).

(0,703+j1,538)А, (-0,465-j1,176)А.

Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов (2.6):

,B; , B

Способ 2.2. Решение СЛКАУ с помощью оператора solve:

− в математическом меню выбрать кнопку с изображением матрицы. Откроется панель Matrix (Матрица) (см. рисунок 1.1), на которой щелкнуть по кнопке с изображением матрицы;

− откроется окно Insert Matrix (диалоговое окно), открыть диалоговое окно можно также нажатием сочетания клавиш. Ctrl+m. В диалоговом окне надо ввести число строк матрицы, равное числу уравнений системы и число столбцов матрицы равное 1 и щелкнуть левой кнопкой мыши по кнопке ОK. На экране появится шаблон матрицы;

− в каждой строке полученной матрицы записать одно уравнение из системы, между левой и правой частями уравнения поставить жирный знак равенства, используя сочетание клавиш Ctrl = или выбрав его в панели Boolean (Булевый, Логический);

− применить к системе уравнений, записанных в виде матрицы оператор solve,

после solve,x1,x2,x3 вставить команду float, записать число значащих цифр и щелкнуть левой кнопкой мыши по пустому месту и нажать знак равенства

Примечание. При решении СЛКАУ с помощью оператора solve получается очень громоздкий промежуточный результат вычислений,и его нецелесообразно приводить в пособии. Решение СЛКАУ предпочтительнее выполнять с помощью оператора (функции) lsolve.

Способ 2.3. Решение СЛКАУ с помощью оператора lsolve:

− запишем СЛКАУ в матричной форме Z_kI_k=E_k (МКТ) или Y_yφ_y=J_y (МУП), Z_k и Y_y – матрицы контурных сопротивлений и, соответственно, узловых проводимостей (i - номер строки матрицы, а j- номер столбца) при неизвестных переменных контурных токов и, соответственно, неизвестных переменных узловых потенциалов _, E_k, J_y – матрицы-столбцы, составленные из свободных членов. I_k, φ_y – матрицы-столбцы составленные из неизвестных переменных и ;

− чтобы присвоить значение переменным Z_k или Y_y, обозначающим матрицы контурных сопротивлений и, соответственно, узловых проводимостей , запишем сначала «Z_k:=» или «Y_y:=», а затем вставим матрицы, соответственно, контурных сопротивлений или узловых проводимостей ;

− чтобы присвоить значение переменным E_k или J_y, обозначающим матрицы-столбцы свободных членов, запишем сначала «E_k:=» или «J_y:=», а затем вставим соответствующие матрицы-столбцы свободных членов;

− запишем «I_k:=lsolve(Z_k,E_k)» или «φ_y:=lsolve(Y_y,J_y )», где I_k и φ_y переменные, обозначающие, соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и ;

− для получения результата нужно напечатать I_k или φ_y, и нажать знак =.

Решение системы уравнений по методу контурных токов в матричной форме Z_kI_k=E_k с помощью оператора lsolve:

(0,703+j1,538)А, (-0,465-j1,176)А.

Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов в матричной форме Y_yφ_y=J_y с помощью оператора lsolve:

,B; , B.

Способ 2.4. Решение путем обращения матрицы коэффициентов:

− запишем СЛКАУ в матричной форме Z_kI_k=E_k (МКТ) или Y_yφ_y=J_y (МУП), где Z_k и Y_y – матрицы контурных сопротивлений и, соответственно, узловых проводимостей (i - номер строки матрицы, а j- номер столбца) при неизвестных переменных и ; E_k, J_y – матрицы-столбцы, составленные из свободных членов, I_k, φ_y – матрицы-столбцы составленные из неизвестных переменных и ;

− решим СЛКАУ в матричной форме Z_kI_k=E_k или Y_yφ_y=J_y путем обращения матрицы коэффициентов I_k= Z_k^-1 E_k или φ_y= Y_y^-1 J_y

Решение системы уравнений по методу контурных токов в матричной форме Z_kI_k=E_k:

(0,703+j1,538)А, (-0,465-j1,176)А.

Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов в матричной форме Y_yφ_y=J_y:

,B; , B.

Примечание: для решения СЛКАУ в MathCad выбирается произвольно один из предлагаемых способов.