Раздел 2. Математическая статистика

Тема 1. Выборочный метод

2.1.1. Задачи математической статистики

Основная задача математической статистики состоит в установлении распределения реальной случайной величины или ее числовых характеристик по наблюденным значениям этой величины, причем используя не всю совокупность возможных значений (генеральную совокупность), а лишь часть ее – выборку.

Основные методы математической статистики:

Выборочный метод - основной метод математической статистики, состоящий в принятии статистических решений на основании выборки. Различают: - случай предварительного планирования объема выборки; - случай последовательного анализа, когда необходимый объем выборки выясняется в процессе эксперимента.

Конец формы

Дисперсионный анализ - предложенный Р.Фишером метод статистического анализа, позволяющий определить достоверность гипотезы о различиях в средних значениях на основании сравнения дисперсий распределений.

Начало формы

Конец формы

Канонический анализ - метод нахождения канонической корреляции, основанный на построении таких линейных комбинаций признаков (в двух заданных группах признаков), что обычный коэффициент парной корреляции между этими комбинациями достигает наибольшего значения.

Конец формы

Ковариационный анализ - совокупность методов математической статистики, предназначенных для выявления зависимости среднего значения некоторой случайной величины - от набора неколичественных факторов, задающих условия качественной природы, при которых получены наблюдения; и одновременно - от набора количественных факторов (сопутствующих переменных).

Конец формы

Корреляционный анализ - статистические методы обнаружения корреляционной зависимости между двумя или более случайными признаками или факторами.

Генеральная или выборочная совокупности

Генеральная совокупность - вся изучаемая выборочным методом статистическая совокупность объектов и/или явлений общественной жизни, имеющих общие качественные признаки или количественные переменные.

Выборочная совокупность (Выборка)- часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.

Для того, чтобы заключение, полученное путем изучения выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность выборка должна обладать свойством репрезентативности.

Вариационный ряд и полигон частот

Вариационный ряд - последовательность значений наблюденной величины, расположенных в порядке возрастания. Напр., вариационный ряд значений 1, - 3, 0, 5, 3, 4 имеет вид -3, 0, 1, 3, 4, 5. Вариационный ряд полностью определяется указанием различных значений входящих в него величин и числа членов ряда.

Полигон распределения частот случайной величины - графическое выражение распределения дискретной случайной величины; это — ломаная линия, координатами ее по оси X являются значения середин разрядов, в которые сгруппирована вся совокупность значений этой величины, а по оси У — частоты встречаемости значений, заключенных в пределах выделенных разрядов. Др. способ графического выражения этой величины — гистограмма.

Эмпирическая функция распределения и гистограмма

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события X<x, тогда как эмпирическая – относительную частоту этого же события.

При росте n относительная частота события X<x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами:

.

Гистограмма помимо эмпирических функций распределения, наглядное (но, вместе с тем, довольно приближенное) представление о неизвестном распределении можно получить при помощи гистограмм. Для построения гистограммы относительных частот на ось абсцисс наносим интервалы [x_k-1 , x_k] и, используя каждый из них как основание, строим прямоугольник с соответствующей высотой H_k. Получаем гистограмму.