1.2.2. Функция распределения и плотность распределения

_{Функция распределения}

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = Fx (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

1. F(x) определена на всей числовой прямой R;

2. F(x) не убывает, т.е. если x1 x2, то F(x1) F(x2);

3. F(- )=0, F(+ )=1, т.е. и ;

4. F(x) непрерывна справа, т.е.

Плотность распределения

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: f (x) = F′(x).

Вероятность того,что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), определяется равенством:

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения F(x)= x

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. f(x) ≥0

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до + равен единице: .

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то x=1

1.2.3.Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическое ожидание ДСВ

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значение на соответствующие им вероятности.

X			…
P			…

Т.е., если сл. величина имеет закон распределения, то

называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.

Постоянная С принимает это значение с вероятностью единица и по определению М(С)=С×1=С

Свойство 2. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической суме их математических ожиданий.

Ограничимся доказательством этого свойства только для суммы двух дискретных случайных величин, т.е. докажем, что

Под суммой двух дискретных сл. Величин понимается сл. Величина, которая принимает значения с вероятностями

По определению

Но,

где вероятность события , вычисленная при условии, что . В правой части последнего равенства перечислены все случаи появления события , поэтому равна полной вероятности появления события , т.е. Аналогично . Окончательно имеем

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Y			…
Q			…
X			…
P			….

Приведем доказательства этого свойства только для дискретных величин. Для непрерывных случайных величин оно доказывается аналогично.

Пусть Х и У независимы и имеют законы распределения

Произведением этих случайных величин будет случайная величина, которая принимает значения с вероятностями равными, в силу независимости случайных величин, . Тогда

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. Так век постоянная С не зависит от того какое значение примет сл. величина X, то по свойству 3. имеем

М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)

Математическое ожидание числа появления события в схеме независимых испытаний.

Пусть производится n независимых опытов, ве­роятность появления события в каждом из которых равна Р. Число появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно: Число появления события в n опытах состоит из числа появлений события в отдельных опытах, т.е.

Где имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).

	0	1
Р	1-р	р

Поэтому

Или

т.е. среднее число появлений события в n независимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.

Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1, то среднее число попадания в 20 выстрелах равно 20×0,1=2.

Дисперсия ДСВ

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу

т.к. М(х), 2 и постоянные величины, то

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю. По определению

Свойство 2. Постоянную можно выносить за знак дисперсии с возведением в квадрат.

Доказательство:

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания.

Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:

Свойство 3. Если случайные величины Х и У независимы, то

Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний

Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равна р. Выразим, как и прежде, число появления события Х через число появления события в отдельных опытах

Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины независимы. А в силу независимости имеем

	0	1
Р	1-р	р

Но каждая из случайных величин имеет закон распределения и , поэтому по определению дисперсии

Где q=1-p

В итоге имеем ,

Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия, как характеристика разброса случайной величины, имеет один недостаток. Если, например, Х – ошибка измерения имеет размерность ММ, то дисперсия имеет размерность . Поэтому часто предпочитают пользоваться другой характеристикой разброса – средним квадратическим отклонением, которое равно корню квадратному из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Одинаково распределенные независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин , которые имеют одинаковые распределения, а следовательно и одинаковые характеристики.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через

Математическое ожидание среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию a каждой из величин:

Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии каждой из величин:

Среднее квадратическое среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического каждой из величин: