10. Логические модели. Исчисление предикатов. Пример.
Символы переменных (обычно
и т. д.),Пропозициональные связки:
,Кванторы: всеобщности
и
существования 
,Служебные символы: скобки и запятая.
Перечисленные
символы вместе с символами
из 
и 
образуют Алфавит логики
первого порядка.
Более сложные конструкции
определяются индуктивно:
Терм есть символ переменной, либо имеет вид
,
где 
—
функциональный символ арности 
,
а 
—
термы.Атом имеет вид
,
где 
—
предикатный символ арности
,
а
—
термы.Формула — это либо атом, либо одна из следующих конструкций:
,
где 
—
формулы, а 
—
переменная.
Переменная
называется связанной в
формуле 
,
если
имеет
вид 
либо 
,
или же представима в одной из форм 
,
причем
уже
связанна в
, 
и 
.
Если
не
связанна в
,
ее называют свободной в
.
Формулу без свободных переменных
называют замкнутой
формулой,
или предложением. Теорией
первого порядка называют
любое множество предложений.
Свойства и основные результаты
Логика первого порядка обладает рядом полезных свойств, которые делают ее очень привлекательной в качестве основного инструмента формализации математики. Главными из них являютсяполнота (это означает, что для любой формулы выводима либо она сама, либо ее отрицание) и непротиворечивость (ни одна формула не может быть выведена одновременно со своим отрицанием). При этом если непротиворечивость более или менее очевидна, то полнота — нетривиальный результат, полученный Гёделем в 1930 году (теорема Гёделя о полноте). По сути теорема Гёделя устанавливает фундаментальную эквивалентность понятий доказуемости и общезначимости.
Логика первого порядка обладает свойством компактности: если некоторое множество формул не выполнимо, то невыполнимо также некоторое его конечное подмножество.
Согласно теореме Лёвенгейма — Скулема если множество формул имеет модель, то оно также имеет модель не более чем счетной мощности. С этой теоремой связан парадокс Скулема, который, однако, является лишь мнимым парадоксом.
Логика первого порядка как формальная модель рассуждений
Являясь формализованым аналогом обычной логики, логика первого порядка дает возможность строго рассуждать об истинности и ложности утверждений и об их взаимосвязи, в частности, о логическом следовании одного утверждения из другого, или, например, об их эквивалентности. Рассмотрим классический пример формализации утверждений естественного языка в логике первого порядка.
Возьмем рассуждение «Каждый человек смертен. Конфуций — человек. Следовательно, Конфуций смертен». Обозначим «x есть человек» через ЧЕЛОВЕК(x) и «x смертен» через СМЕРТЕН(x). Тогда утверждение «каждый человек смертен» может быть представлено формулой: x(ЧЕЛОВЕК(x) → СМЕРТЕН(x)) утверждение «Конфуций — человек» формулой ЧЕЛОВЕК(Конфуций), и «Конфуций смертен» формулой СМЕРТЕН(Конфуций). Утверждение в целом теперь может быть записано формулой
(
x(ЧЕЛОВЕК(x)
→ СМЕРТЕН(x)) 
ЧЕЛОВЕК(Конфуций))
→ СМЕРТЕН(Конфуций)
11. НЕ-факторы знаний
Знания, извлеченные из экспертов, содержат различные виды НЕ-фкторов, в связи с чем соответствующие методы и процедуры получения знаний должны обеспечивать возожность извлечения и обработки не полностью известной инфорации.
В ходе использования комбинированного метода приобретения знаний (КМПЗ) для разработки нескольких прикладных ИЭС удалось накопить экспериментальный материал, связанный с построением БД для трех типов задач – диагностики, проектирования и планирования, позволивший разработать целый ряд подходов к выявлению и обработке высказываний эксперта о свойствах ПрО, содержащих элементы нечеткости, неопределенности, неточности, отдельных видов недоопределенности, а также неполноты.
Для рассмотрения подобных знаний сточки зрения процессов извлечения и структурирования удобно выделить 2 основные группы НЕ-факторов знаний:
НЕ-факторы, проявляющиеся в рассуждениях эксперта в эксплицитном виде
НЕ-факторы, выделить которые в процессе интервьюирования эксперта на основе КМПЗ не представляется возможным, т.к. для их выявления требуются специльные механизмы и подходы (н-р, интервьюирование нескольких экспертов). В связи с этим введен ряд определений :
Недостоверные знания – знания, которые содержат НЕ – факторы, проявляющиеся эксплицитно в рассуждениях эксперта (т.е. относящися к 1 группе). Проведенные теоретические исследования показали, что распространнеными НЕ-факторами, проявление которых было отмечено в знаниях, полученны от экспертов, являются нечеткость, неопределенность, неточность, недоопределенность.
Используя теоретико –множественный подход , т.е в терминах xϵF , где x – элемент некоторого множества F, введены следующие определения для каждого из них.
Неопределенность - это степень неуверенности, которую эксперт приписывает своим высказываниям, т.е. некоторый субъективный коэффициент неполной уверенности в высказывании xϵF, который в зависимости от метода, используемого для обработки этого коэффициента, может иметь вид и интервала уверенности.
Нечеткость есть свойство количественной оценки экспертом качественных понятий и отношений, которые он использует в своих рассуждениях , когда по количественной оценке элемента х невозможно однозначно сказать , принадлежит он множеству F или нет.
Неопределенность отличается от нечеткости тем, что коэффицент уверенности приписывается не к каждому элементу х некоторого множества (в случае нечеткости), а только к конкретному высказыванию. В случае вероятностной интерпретации функции принадлежности (ФП) неопределенность можно свести к нечеткости. Приобретение нечетких знаний является черезвычайно сложной задачей, т.к эксперты не в состоянии самостоятельно определить ФП множества F.
Неточность –это часто встречающийся НЕ-фактор, т.к эксперты в своих рассуждениях опрерирует параметрами, полученными при помощи кких-либо измерительных приборов, которые имеют относительную погрешность измерения. Отсюда возникают неточные значения измерительных величин.
Неполнота означает, что неизвестен либо элемент х, либо множество F.
В условиях приобретения знаний неполнота связана с тем, что эксперт не знает (не отметил) какого-либо факта, необходимого для решения задачи. Возможны следующие альтернативы преодоления неполноты: либо проведение нескольких сеансов приобретения знаний с одним экспертом и срвнение результатов, либо привлечение нескольких экспертов и корреляция их мнений, а также использование технологии извлечение знаний из БД .
Наибольший разброс мнений наблюдается при определении недоопределенности. 1 мнение: Недоопределенность является отдельным НЕ- фактором, который включет в себя как недоопределенность общих знаний, так и недоопределенность конкретных знаний. Другая часть авторов под недоопределенностью понимает совокупность трех вышеупомянутых НЕ –факторов.
Под недоопределенностью общих знаний понимается частичное отсутствие знаний проблемной/предметной области в целом.
Под недоопределенностью конкретных знаний понимается частичное отсутствие знаний об отдельных понятиях и отношениях проблемной/предметной области.
Другими словами, недоопределенность конкретных знаний проявляется тогда, когда на значение какой-либо величины накладываются ограничения, что обычно не вызывает затруднения у эксперта, поэтому недоопределенность конкретных знаний является ниболее легко и часто выявляемой в процессе приобретения знаний. Поскольку невозможно определить адекватность модели ПрО, которой обладает эксперт, реальному миру, то вопросы выявления недоопределенности общих знаний затруднены , в связи с чем под термином «недоопределенности» часто понимается только недоопределеннсть конкретных знаний.