16. Как определяется длинна вектора в евклидовом пространстве?

Определение 1. Длиной (модулем) вектора в евклидовом пространстве называют корень квадратный из скалярного произведения вектора на самого себя и обозначают , так что

(3.4)

Всякий вектор евклидова пространства имеет длину. У нулевого вектора длина равна нулю, у всякого другого – положительна. Вектор называют нормированным, если его длина равна единице. Легко видеть, что если любой ненулевой вектор умножить на число , то вектор , имеет длину, равную единице. Эту операцию получения нормированного вектора называют нормированием.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Для множества свободных векторов введенное определение длины вектора совпадает с обычным понятием длины вектора.

Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц выражение для длины вектора

имеет вид

.

17. Какое неравенство имеет место для скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве?

Теорема. В евклидовом пространстве скалярное произведение произвольных векторов и не превышает произведения длин этих векторов, т. е. имеет место неравенство

(1)

Доказательство опять же не нужно, но пусть будет, ведь может случиться всякое = )

Заметим, что неравенство называют неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство. Для доказательства неравенства (1) заметим, что в согласии с условием определения евклидова пространства, можем написать

(2)

где – любое вещественное число. Используя дважды условие , можем написать левую часть неравенства (2) в виде

Воспользовавшись теперь условием , получим

Обратившись к условию , запишем неравенство (2) окончательно в виде

В левой части последнего неравенства стоит квадратный трехчлен относительно . Так как этот трехчлен неотрицателен при любом , то его дискриминант не может быть положительным, т. е.

Записав последнее неравенство в виде

и извлекая, квадратный корень из обеих частей неравенства, получим

18. Какое неравенство для произвольных векторов выполняется в евклидовом пространстве?

Для произвольных векторов и евклидового пространства выполняется неравенство

, (1)

называемое неравенством треугольника.

Доказательство (как обычно не надо, но есть, это потому что автор- умница=^_^=)

Для доказательства справедливости (1) заметим, что квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя, т. е.

(2)

Обращаясь последовательно к условию в определении евклидова пространства два раза, а затем к условию , можем написать

Используя неравенство Коши-Буняковского, получим

(3)

Из сравнения (2) и (3) следует справедливость (1). Заметим, что если и означают векторы, изученные ранее в курсе геометрии, то неравенство (1) означает, что длина стороны треугольника не больше суммы длин других его сторон.

19. Когда векторы линейного пространства ортогональны?

Векторы и называются ортогональными, если выполнено равенство

(3.11)

Если и – оба ненулевые, то это определение означает, что угол между и равен . Нулевой вектор, по определению, считается ортогональным любому вектору.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В пространстве векторов, изученных ранее в курсе геометрии, скалярное произведение определено известным образом. Орты попарно взаимно ортогональны.

Пример 2. В евклидовом пространстве одностолбцовых матриц, в котором скалярное произведение определено равенством (3.3), векторы

и

ортогональны.