Тема 3.2. Показательные уравнения и неравенства

3.2.1. Простейшие показательные уравнения и неравенства

Основные понятия и термины: показательные уравнения, показательные неравенства

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Практическая работа 25

4. Практическая работа 26

Краткое изложение теоретических вопросов:

Пример 1. 1000^x=100

Решение:

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания: 10^3x=10²

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2 x=2/3

Ответ: 2/3 .

Пример 2. 3^х2-х-2=81

Решение:

3^х2-х-2=3⁴

Приравниваем показатели:

х²-х-2=4

х²-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х₁=(1+5)/2=3

х₂=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число. Если a>1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству . Если  0<a<1, то показательная функция монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству

Пример 3. Решим неравенство

Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Пример 4. Решим неравенство .

Запишем неравенство в виде .

Показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х < - 3

Ответ: .

Практические занятия

1. Решение простейших показательных уравнений

2. Решение простейших показательных неравенств

Задания для самостоятельного выполнения

1	271-х =	82 + 3х =
2	2163х + 1 =
3	13х = 1

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Какие уравнения называются показательными?

2. Какие неравенства называются показательными?

3.2.2. Применение свойств степеней.

Основные понятия и термины: равносильность уравнений, равносильность неравенств

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Решение показательных уравнений

4. Решение показательных неравенств

Краткое изложение теоретических вопросов:

При решении показательных уравнений главные правила - действия со степенями.

Пример 1. 4^х+1+4^х=320

Решение:

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4^х за скобки:

4^х(4+1)=320 4^х ∙5=320

Представим 320 в виде 5∙4³, тогда: 4^х∙5=5∙4³

Поделим левую и правую часть уравнения на 5: 4^х=4³

Приравняем показатели: х=3

Ответ: 3

Практические занятия не предусмотрены

Задания для самостоятельного выполнения

1	2х + 2х + 1 = 6	7х + 2 - 14•7х = 5	10•5х -1 + 5х + 1 = 7
2	5х + 1 + 5х + 5х – 1 = 31	2х + 4 – 2х = 120	3х + 2 + 3х + 1 + 3х = 39
3	2х + 2х + 1 6	2х + 3 + 2х + 1 - 7•2х = 48	5х + 5 х + 1 30

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Основные методы решения показательных уравнений и неравенств