5.1.2. Сочетание и размещение
Основные понятия и термины: сочетание, размещение
План изучения темы:
1. Устный опрос
2. Теоретическая часть
3. Решение задач
Краткое изложение теоретических вопросов:
Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).
Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания: ab, ac, bc.
Число сочетаний из n элементов по k обозначают Cnk . Оно равно
Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.
Задача. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?
Решение: По формуле находим:
=
120
комиссий
Ответ: 120 комиссий.
Размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.
В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).
Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.
Задача. В группе СТ-121 обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?
Решение:
число способов равно числу размещений
из 24 элементов по 3, т.е. равно
.
По формуле находим
Ответ: 12144 способа
Практические занятия не предусмотрены
Задания для самостоятельного выполнения:
1 |
Для участия в первенстве университета по легкой атлетике необходимо составить команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать, если имеется 7 бегунов? |
2 |
Для освещения событий в одной из стран ближнего зарубежья решено отправить трех корреспондентов газеты. Сколькими способами это можно сделать, если в штате 32 сотрудника? |
3 |
В финале конкурса <Студент года> принимают участие 6 человек. Сколькими способами могут распределиться три призовых места? |
Форма контроля самостоятельной работы:
Устный опрос
Проверка тетрадей
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Какие соединения называются сочетаниями?
2. Выпишите формулу для числа сочетаний из n элементов по к.
3. Какие соединения называются размещениями?
4. Выпишите формулу для числа размещений из n элементов по к.
5.1.3. Вероятности случайных событий
Основные понятия и термины: вероятность события
План изучения темы:
1. Устный опрос
2. Теоретическая часть
3. Практическая работа 52
Краткое изложение теоретических вопросов:
Вероя́тность — численная мера возможности наступления некоторого события.
С практической точки зрения, вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина — женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента.
Согласно определению П. Лапласа, мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель — число всех равновозможных случаев.
Классическое
определение.
Вероятность события равняется отношению
числа благоприятствующих исходов к
общему числу возможных исходов
,
где
— вероятность события А, m
— число благоприятствующих событию
исходов,
n
— общее число возможных исходов.
Задание 1.
В партии из 20 изделий 6 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 3 изделий 2 изделия являются дефектными.
Решение:
Всего
исходов
Число благоприятных исходов
Ответ:
.
Задание 2.
В магазине выставлены для продажи 15 изделий, среди которых 6 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 3 изделия будут качественными.
Решение:
Всего
исходов
Число благоприятных исходов
,
имеем
Ответ:
.
Практические занятия
Вероятность случайных событий
Задания для самостоятельного выполнения:
1 |
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. |
2 |
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. |
3 |
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. |
Форма контроля самостоятельной работы:
Устный опрос
Проверка тетрадей
Вопросы для самоконтроля по теме:
Запишите классическое определение вероятности случайного события