6.2.2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Основные понятия и термины: прямая, плоскость, перпендикуляр, наклонная к плоскости, двугранный угол, линейный угол, проекция точки, отрезка

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Практическая работа 57

4. Практическая работа 58

Краткое изложение теоретических вопросов:

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

1		Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.
2		Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.
3		В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Теоремы

1. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

3. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

4. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

5. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

6. Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.

7. Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

8. Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

Практические занятия

1. Перпендикуляр и наклонная

2. Задачи на сечение

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Составить конспект: Взаимное расположение прямых и плоскостей

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Взаимное расположение прямых на плоскости

2. Взаимное расположение прямых в пространстве

3. Взаимное расположение прямых и плоскостей

4. Взаимное расположение плоскостей

Тема 6.3. Многогранники

6.3.1. Решение планиметрических задач

Основные понятия и термины: многоугольник

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Решение задач

Краткое изложение теоретических вопросов:

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Основные свойства треугольника

В любом треугольнике: 

  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

 В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

Сумма углов треугольника равна 180 º .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем  треугольнике равен 60 º

Высоты, биссектрисы, медианы треугольника

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

 

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

 

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга

 

Серединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга

 

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними.

Теорема синусов Для произвольного треугольника где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной около треугольника окружности.

Площадь треугольника

Основные свойства четырехугольников.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;

• противоположные углы равны;

• диагонали точкой пересечения делятся пополам;

• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d₁²+d₂²=2(a²+b²).

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

• ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

• если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

• если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

• если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

• все свойства параллелограмма;

• диагонали перпендикулярны;

• диагонали являются биссектрисами его углов.

Площади четырехугольников.

1. П роизвольный выпуклый четырехугольник d₁, d₂ — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S = d₁d₂ sin

2. Параллелограмм a и b — смежные стороны; — угол между ними; h_a — высота, п роведенная к стороне a.

S = ah_a

S = ab sin

S = d₁d₂ sin

3. Трапеция a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

S = lh

4. П рямоугольник

S = ab

S = d₁d₂ sin

5. Р омб

S = ah_a

S = a²sin

S = d₁d₂

Практические занятия не предусмотрены

Задания для самостоятельного выполнения:

Составить конспекты:

1. Теорема Пифагора

2. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Треугольники

2. Четырехугольники