
- •Учебно-методический комплекс по дисциплине математика
- •270802 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений
- •Для студентов очной формы обучения Альметьевск, 2012
- •Содержание
- •Уважаемый студент!
- •Раздел 1 алгебра
- •Тема 1.1 Элементы вычислительной математики
- •1.1.2. Приближенные значения величин
- •Тема 1.2. Корень. Степень
- •1.2.1. Корень n-ой степени.
- •1.2.2. Степень с рациональным показателем
- •Тема 1.3. Логарифмы
- •Понятие о логарифме числа.
- •Тема 1.4. Тригонометрия
- •Радианная и градусная меры углов
- •1.4.2. Формулы двойного аргумента
- •Тема 1.5. Комплексные числа
- •1.5.1. Понятие о мнимых и комплексных числах.
- •1.5.2. Формы записи комплексных чисел
- •Раздел 2. Функции и графики
- •Тема 2.1. Построение графиков функций
- •2.1.1. Графики показательных функций
- •2.1.2. Графики логарифмических функций
- •Раздел 3. Уравнения и неравенства
- •Тема 3.1. Рациональные уравнения и неравенства
- •3.1.1. Квадратные уравнения и неравенства. Метод интервалов
- •3.1.2. Определители второго порядка
- •3.1.3. Решение систем двух уравнений методом Крамера
- •3.1.4. Метод Гаусса
- •3.1.5. Решение текстовых задач на составление уравнений
- •Тема 3.2. Показательные уравнения и неравенства
- •3.2.1. Простейшие показательные уравнения и неравенства
- •3.2.2. Применение свойств степеней.
- •3.2.3. Показательные уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным
- •Тема 3.3. Логарифмические уравнения и неравенства
- •3.3.1. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства
- •3.3.3. Применение свойств логарифмов
- •3.3.4. Логарифмические уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным
- •3.3.5. Системы логарифмических уравнений
- •Тема 3.4. Тригонометрические уравнения и неравенства
- •3.4.1. Обратные тригонометрические функции.
- •3.4.4. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители
- •3.4.5. Решение тригонометрических уравнений разными способами
- •3.4.6. Тригонометрические неравенства.
- •Раздел 4. Начала математического анализа
- •Тема 4.1. Пределы функции
- •4.1.1. Последовательности. Предел функции
- •4.1.2. I и II замечательные пределы
- •Тема 4.2. Производная
- •4.2.1. Приращение функции. Производная
- •4.2.2. Правила дифференцирования
- •Тема 4.3. Приложения производной
- •4.3.1. Физический смысл производной. Мгновенная скорость. Ускорение
- •4.3.2. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной
- •4.3.3. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума
- •4.3.4. Выпуклость графика функции. Точка перегиба
- •4.3.5. Асимптоты
- •Тема4.4. Неопределенный интеграл
- •4.4.1. Первообразная функция
- •4.4.2. Неопределенный интеграл
- •Тема4.5. Определенный интеграл
- •4.5.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •4.5.2. Метод замены переменной
- •Тема4.6. Приложения определенного интеграла
- •4.6.1. Площадь криволинейной трапеции
- •4.6.2. Вычисление пути, пройденного телом
- •Тема 4.7. Дифференциальные уравнения
- •4.7.1. Основные понятия дифференциального уравнения
- •4.7.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •4.7.3 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Раздел 5. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей
- •Тема 5.1. Элементы комбинаторики и теория вероятностей
- •5.1.1. Перестановки и факториалы. Правило умножения
- •5.1.2. Сочетание и размещение
- •5.1.3. Вероятности случайных событий
- •5.1.4. Сложение и умножение вероятностей случайных событий
- •Тема 5.2. Математическая статистика
- •5.2.1. Задачи математической статистики
- •5.2.2. Центральные тенденции: среднее значение, мода, медиана
- •Раздел 6. Геометрия
- •Тема 6.1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •6.1.1. Векторы. Действия над векторами.
- •6.1.2. Скалярное произведение векторов
- •6.1.3. Векторное произведение векторов
- •6.1.4. Прямая линия на плоскости. Уравнения прямых
- •6.1.5. Линии второго порядка на плоскости
- •Тема 6.2. Прямая и плоскость в пространстве
- •6.2.1. Аксиомы стереометрии
- •6.2.2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •Тема 6.3. Многогранники
- •6.3.1. Решение планиметрических задач
- •6.3.2. Призма.
- •6.3.3. Параллелепипед
- •Основные элементы
- •6.3.4. Пирамида.
- •6.3.5. Усеченная пирамида
- •6.3.6. Правильные многогранники
- •Тема 6.4. Тела вращения
- •6.4.1. Цилиндр
- •6.4.2. Площади поверхностей и объем цилиндра
- •6.4.3. Конус
- •6.4.4. Площади поверхностей и объем конуса
- •6.4.5. Усеченный конус
- •6.4.6. Шар и сфера
- •Контроль и оценка результатов освоения дисциплины Текущий контроль
- •Итоговый контроль Вопросы к дифференцированному зачету
- •Вопросы к экзамену
- •Глоссарий Абсолютная погрешность - разность между приближенным числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее).
- •Информационное обеспечение дисциплины Основные источники
- •Дополнительные источники
6.1.2. Скалярное произведение векторов
Основные понятия и термины: скалярное произведение вектора
План изучения темы:
1. Устный опрос
2. Теоретическая часть
3. Решение задач
Краткое изложение теоретических вопросов:
Умножение двух векторов. Существуют два способа умножения векторов. Результатом одного из них является скаляр, такое произведение называется «скалярным произведением». Результатом другого умножения является вектор, называемый «векторным произведением»
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр).
Скалярное
произведение.
Если
векторы
и
заданы своими координатами:
,
,
то
их скалярное произведение может быть
вычислено по формуле
Практические занятия не предусмотрены
Задания для самостоятельного выполнения:
Найти
скалярное произведение векторов
и
,
если
,
.
Форма контроля самостоятельной работы:
Устный опрос
Проверка тетрадей
Вопросы для самоконтроля по теме:
Как различаются скалярное и векторное величины?
Что называется скалярным произведением двух векторов?
6.1.3. Векторное произведение векторов
Основные понятия и термины: векторное произведение вектора
План изучения темы:
1. Устный опрос
2. Теоретическая часть
3. Практическая работа 54
Краткое изложение теоретических вопросов:
Векторное произведение.
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними
вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
Обозначение:
Геометрически
векторное произведение
есть площадь
параллелограмма,
построенного на векторах
.
Практические занятия
Простейшие задачи в координатах.
Задания для самостоятельного выполнения:
Найти площадь треугольника с вершинами А(1;2;0), В(3;2;1), С(-2;1;2).
Форма контроля самостоятельной работы:
Устный опрос
Проверка тетрадей
Вопросы для самоконтроля по теме:
Как различаются скалярное и векторное величины?
Что называется векторным произведением двух векторов?
6.1.4. Прямая линия на плоскости. Уравнения прямых
Основные понятия и термины: общее уравнение прямой
План изучения темы:
1. Устный опрос
2. Теоретическая часть
3. Решение задач
Краткое изложение теоретических вопросов:
Прямая — одно из основных понятий геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками. Аналитически прямая задаётся уравнением первой степени.
Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. При C = 0 прямая проходит через начало координат.
Уравнение
прямой с угловым коэффициентом.
Прямая линия, пересекающая ось Oy
в точке в
и образующая угол
с положительным направлением оси Ox:
Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси Oy.
Уравнение прямой в отрезках. Прямая линия, пересекающая ось Ox в точке (а, 0) и ось Oy в точке (0, b):
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть в пространстве заданы две точки M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на этой прямой, называется направляющим вектором прямой.
Для
составления уравнения прямой на плоскости
необходимо знать
фиксированную
точку M0 (x0, y0)
и направляющий вектор
,
параллельный данной прямой.
Практические занятия не предусмотрены
Задания для самостоятельного выполнения:
1. Построить прямую: 2x-3y+6=0
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(3;-5) и В(-4;3)
3.
Определить угловой коэффициент прямой,
проходящей через точки
(3;5)
и
(3;-2).
Форма контроля самостоятельной работы:
Устный опрос
Проверка тетрадей
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Запишите общее уравнение прямой
2. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом
3. Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки
4. Запишите каноническое уравнение прямой