Раздел 6. Геометрия

Тема 6.1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

6.1.1. Векторы. Действия над векторами.

Основные понятия и термины: вектор

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Решение задач

Краткое изложение теоретических вопросов:

В физике и математике вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например, сила, скорость, ускорение. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они «скалярами».

Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. Численное значение вектора А называется модулем или длиной и обозначается A или |A|. Это величина, конечно, скаляр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается O.

Направленный отрезок AB представляет вектор – физическую величину, описываемую численным значением и направлением. Стрелка показывает, что вектор направлен от А к B, а не от B к A.

Два вектора называются равными, если их модули и направления совпадают.

Сложение векторов. Сложение двух векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала

Правило многоугольника применяется, если нужно найти сумму трех или большего числа векторов. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. От произвольной точки О отложен вектор затем от точки А отложен вектор и, наконец, от точки В отложен вектор В результате получается вектор

Умножение вектора на скаляр. Произведение mA или Am, где m– скаляр, а A – ненулевой вектор, определяется как другой вектор, который в m раз длиннее A и имеет то же направление что и A, если число m положительно, и противоположное, если m отрицательно.