5.1.4. Сложение и умножение вероятностей случайных событий

Основные понятия и термины: вероятность случайных событий

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Решение задач

Краткое изложение теоретических вопросов:

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Задача. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,

- вынули черный шар из первого ящика,

В – белый шар из второго ящика,

- черный шар из второго ящика,

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей , .

Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет

Практические занятия не предусмотрены

Задания для самостоятельного выполнения:

1	Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность двойного попадания
2	Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность хотя бы одного попадания
3	Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность двойного промаха.

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Сформулируйте теорему о сложении вероятностей

2. Сформулируйте теорему об умножении вероятностей

Тема 5.2. Математическая статистика

5.2.1. Задачи математической статистики

Основные понятия и термины: математическая статистика, вариационный ряд, генеральная совокупность, выборка

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Решение задач

Краткое изложение теоретических вопросов:

Математическая статистика – это наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных. Любая наука решает следующие задачи:

1) описание явления;

2) анализ и прогноз;

3) поиск оптимального решения.

Такого рода задачи решает и математическая статистика:

1) систематизировать полученный статистический материал;

2) на основании полученных экспериментальных данных оценить интересующие нас числовые характеристики наблюдаемой случайной величины;

3) определить число опытов, достаточное для получения достоверных результатов при минимальных ошибках измерения.

Таким образом, математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в полученных опытных данных, оценить, значимы или нет определенные факты, принять или отбросить те или иные гипотезы о природе рассматриваемого явления.

Определение. Всю совокупность объектов, подлежащих изучению, называют генеральной совокупностью.

Генеральной совокупностью могут быть всё население страны, месячная продукция завода и т.д.

Но генеральная совокупность - это не просто множество. Если интересующая нас совокупность объектов слишком многочисленна, или объекты труднодоступны, или имеются другие причины, не позволяющие изучить все объекты, прибегают к изучению какой-то части объектов.

Определение. Та часть объектов, которая попала на проверку, исследование и т.п., называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Определение. Число элементов в генеральной совокупности и выборке называется их объёмами.

Большая осведомлённость позволяет действовать лучше, но всё равно на некоторой стадии наступает незнание и, как результат – случайный выбор.

Что представляют собой выборки? Это ряды чисел.

Определение. Различные значения случайной величины называются вариантами.

Определение. Вариационным рядом называется ряд, расположенный в порядке возрастания (или убывания) вариантов с соответствующими им частотами

Задача

Дана выборка: 1,3; 1,8; 1,2; 3,0; 2,1; 5; 2,4; 1,2; 3,2;1,2; 4; 2,4.

Это ряд вариантов. Расположив эти варианты в возрастающем порядке, мы получим вариационный ряд: 1,2; 1,2; 1,2; 1,3; 1,8; 2,1; 2,4; 2,4; 3,0; 3,2; 4; 5.

Составим таблицу

xi	1,2	1,3	1,8	2,1	2,4	3,0	3,2	4	5
ni	3	1	1	1	2	1	1	1	1
ni/n	3/12=1/4	1/12	1/12	1/12	2/12	1/12	1/12	1/12	1/12

Такие таблицы называют частотными. В них числа второй строки – частоты; они показывают, как часто встречаются в выборке те или другие её значения.

Определение. Относительной частотой значений выборки называют отношение её частоты к числу всех значений выборки.

Найдём размах ряда: R=5-1,2=3,8; Размах ряда равен 3,8.

Практические занятия не предусмотрены

Вопросы для самоконтроля по теме:

1 В чем заключается задача математической статистики?

2 Что называется выборкой?

3 Дайте определение генеральной совокупности и объема совокупности.