- •Учебно-методический комплекс по дисциплине математика
- •270802 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений
- •Для студентов очной формы обучения Альметьевск, 2012
- •Содержание
- •Уважаемый студент!
- •Раздел 1 алгебра
- •Тема 1.1 Элементы вычислительной математики
- •1.1.2. Приближенные значения величин
- •Тема 1.2. Корень. Степень
- •1.2.1. Корень n-ой степени.
- •1.2.2. Степень с рациональным показателем
- •Тема 1.3. Логарифмы
- •Понятие о логарифме числа.
- •Тема 1.4. Тригонометрия
- •Радианная и градусная меры углов
- •1.4.2. Формулы двойного аргумента
- •Тема 1.5. Комплексные числа
- •1.5.1. Понятие о мнимых и комплексных числах.
- •1.5.2. Формы записи комплексных чисел
- •Раздел 2. Функции и графики
- •Тема 2.1. Построение графиков функций
- •2.1.1. Графики показательных функций
- •2.1.2. Графики логарифмических функций
- •Раздел 3. Уравнения и неравенства
- •Тема 3.1. Рациональные уравнения и неравенства
- •3.1.1. Квадратные уравнения и неравенства. Метод интервалов
- •3.1.2. Определители второго порядка
- •3.1.3. Решение систем двух уравнений методом Крамера
- •3.1.4. Метод Гаусса
- •3.1.5. Решение текстовых задач на составление уравнений
- •Тема 3.2. Показательные уравнения и неравенства
- •3.2.1. Простейшие показательные уравнения и неравенства
- •3.2.2. Применение свойств степеней.
- •3.2.3. Показательные уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным
- •Тема 3.3. Логарифмические уравнения и неравенства
- •3.3.1. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства
- •3.3.3. Применение свойств логарифмов
- •3.3.4. Логарифмические уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным
- •3.3.5. Системы логарифмических уравнений
- •Тема 3.4. Тригонометрические уравнения и неравенства
- •3.4.1. Обратные тригонометрические функции.
- •3.4.4. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители
- •3.4.5. Решение тригонометрических уравнений разными способами
- •3.4.6. Тригонометрические неравенства.
- •Раздел 4. Начала математического анализа
- •Тема 4.1. Пределы функции
- •4.1.1. Последовательности. Предел функции
- •4.1.2. I и II замечательные пределы
- •Тема 4.2. Производная
- •4.2.1. Приращение функции. Производная
- •4.2.2. Правила дифференцирования
- •Тема 4.3. Приложения производной
- •4.3.1. Физический смысл производной. Мгновенная скорость. Ускорение
- •4.3.2. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной
- •4.3.3. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума
- •4.3.4. Выпуклость графика функции. Точка перегиба
- •4.3.5. Асимптоты
- •Тема4.4. Неопределенный интеграл
- •4.4.1. Первообразная функция
- •4.4.2. Неопределенный интеграл
- •Тема4.5. Определенный интеграл
- •4.5.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •4.5.2. Метод замены переменной
- •Тема4.6. Приложения определенного интеграла
- •4.6.1. Площадь криволинейной трапеции
- •4.6.2. Вычисление пути, пройденного телом
- •Тема 4.7. Дифференциальные уравнения
- •4.7.1. Основные понятия дифференциального уравнения
- •4.7.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •4.7.3 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Раздел 5. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей
- •Тема 5.1. Элементы комбинаторики и теория вероятностей
- •5.1.1. Перестановки и факториалы. Правило умножения
- •5.1.2. Сочетание и размещение
- •5.1.3. Вероятности случайных событий
- •5.1.4. Сложение и умножение вероятностей случайных событий
- •Тема 5.2. Математическая статистика
- •5.2.1. Задачи математической статистики
- •5.2.2. Центральные тенденции: среднее значение, мода, медиана
- •Раздел 6. Геометрия
- •Тема 6.1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •6.1.1. Векторы. Действия над векторами.
- •6.1.2. Скалярное произведение векторов
- •6.1.3. Векторное произведение векторов
- •6.1.4. Прямая линия на плоскости. Уравнения прямых
- •6.1.5. Линии второго порядка на плоскости
- •Тема 6.2. Прямая и плоскость в пространстве
- •6.2.1. Аксиомы стереометрии
- •6.2.2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •Тема 6.3. Многогранники
- •6.3.1. Решение планиметрических задач
- •6.3.2. Призма.
- •6.3.3. Параллелепипед
- •Основные элементы
- •6.3.4. Пирамида.
- •6.3.5. Усеченная пирамида
- •6.3.6. Правильные многогранники
- •Тема 6.4. Тела вращения
- •6.4.1. Цилиндр
- •6.4.2. Площади поверхностей и объем цилиндра
- •6.4.3. Конус
- •6.4.4. Площади поверхностей и объем конуса
- •6.4.5. Усеченный конус
- •6.4.6. Шар и сфера
- •Контроль и оценка результатов освоения дисциплины Текущий контроль
- •Итоговый контроль Вопросы к дифференцированному зачету
- •Вопросы к экзамену
- •Глоссарий Абсолютная погрешность - разность между приближенным числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее).
- •Информационное обеспечение дисциплины Основные источники
- •Дополнительные источники
Раздел 5. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей
Тема 5.1. Элементы комбинаторики и теория вероятностей
5.1.1. Перестановки и факториалы. Правило умножения
Основные понятия и термины: комбинаторика, элементы комбинаторики, перестановка, факториал
План изучения темы:
1. Устный опрос
2. Теоретическая часть
3. Решение задач
Краткое изложение теоретических вопросов:
Комбинато́рика — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.
Число всех перестановок порядка n равно факториалу: Pn=n!
Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
1! = 1,
2! = 2•1 = 2,
3! = 3 •2 •1 = 6,
4! = 4 •3 •2 •1 = 24,
Задача. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?
Решение:
На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 4 • 3 • 2 • 1 = 4!.
Задача. На танцплощадке собрались 7 юношей и 7 девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?
Ответ: 7!
Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.
Задача. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?
Решение. Перечислим все возможные варианты:
20 22 26
30 32 36
60 62 66
70 72 76
90 92 96
Используя правило умножения, получаем: 5х3=15
Практические занятия не предусмотрены
Задания для самостоятельного выполнения:
1 |
Сколько различных слов можно составить из слова «ВЕКТОР»; |
2 |
В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределиться места по окончании соревнований? |
3 |
Сколько флагов можно составить из трех цветных полосок? |
4 |
Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения? |
Форма контроля самостоятельной работы:
Устный опрос
Проверка тетрадей
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Какие соединения называются перестановками?
2. Выпишите формулу для числа перестановок из n элементов
3. В чем заключается правило умножения?