4.7.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия и термины: дифференциальные уравнения первого порядка

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Практическая работа 51

Краткое изложение теоретических вопросов:

Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: .

При решении однородных дифференциальных уравнений сохраняя прежнюю независимую переменную х, вводят вспомогательную неизвестную функцию t по формуле: . Откуда .

Преобразуя уравнение , получаем: . Найдя отсюда выражение для t как функции от x возвращаются к переменной , получая при этом решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Делаем замену: .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные: .

Интегрируя: , получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

Практические занятия

1. Решение дифференциальных уравнений

Задания для самостоятельного выполнения:

1
2
3
4

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка

4.7.3 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия и термины: однородные дифференциальные уравнения первого порядка, неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Самостоятельная работа

Краткое изложение теоретических вопросов:

Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: . При этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (P(x) и Q(x) – функции, непрерывные на некотором промежутке a < x < b).

Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций , где u=u(x) и v=v(x) – неизвестные функции от х. Отсюда, .

Подставляя у и в исходное уравнение, получаем:

.

В качестве u берут частное решение уравнения: . Решая это дифференциальное уравнение, определяем u:

.

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим полученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

.

Интегрируя, получаем функцию v: .

Подставляя полученные значения u и v в y=uv, получаем:

.

Окончательно получаем формулу: .

Это уравнение является решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Пример. Решить уравнение .

Решение.

Полагаем и .

Тогда .

1) , , , .

2) , т.е. , .

Итак, .

Практические занятия не предусмотрены

Задания для самостоятельного выполнения:

1
2
3
4

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка