Тема4.5. Определенный интеграл

4.5.1. Формула Ньютона-Лейбница

Основные понятия и термины: определенный интеграл

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Практическая работа 45

Краткое изложение теоретических вопросов:

Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, [a, b] – отрезок интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница:

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 – 14.11.1716) – немецкий философ-идеалист, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Ввел впервые обозначение интеграла.

Основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3. .

4. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

5. .

Пример: .

Практические занятия:

1. Вычисление определенных интегралов

Задания для самостоятельного выполнения:

1
2
3

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Запишите формулу Ньютона-Лейбница

2. Найдите ошибку:

4.5.2. Метод замены переменной

Основные понятия и термины: определенный интеграл

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Практическая работа 46

Краткое изложение теоретических вопросов:

Пример:

Практические занятия:

Вычисление определенных интегралов методом подстановки

Задания для самостоятельного выполнения:

1
2
3

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. В чем заключается формула замены переменной интегрирования в определенном интеграле?

Тема4.6. Приложения определенного интеграла

4.6.1. Площадь криволинейной трапеции

Основные понятия и термины: криволинейная трапеция

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Практическая работа 47

4. Практическая работа 48

Краткое изложение теоретических вопросов:

Необходимо хорошо усвоить, что с геометрической точки зрения определенный интеграл непрерывной функции численно равен площади фигуры, ограниченной кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и x=b.

Поэтому формулу площади можно записать так:

_S=

Задача. Вычислить площадь, ограниченную линиями y=x²+1, x=0, x=2, y=0 (это уравнение оси Ох).

Решение.

Находим неопределенный интеграл:

Тогда S= кв. ед.

Ответ: 4 кв. ед.

Практические занятия:

1. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями

2. Вычисление объема тела вращения

Задания для самостоятельного выполнения:

1	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x³, y=0, x=3, x=4
2	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2x², y=0, x=1, x=2
3	Найти площадь, ограниченную параболой y = 4x – x2 и прямой у = х+2.

Вопросы для самоконтроля по теме:

Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла?