4.3.3. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума

Основные понятия и термины: критическая точка, точка максимума, точка минимума

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Практическая работа 39

Краткое изложение теоретических вопросов:

Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Для точек минимума и максимума функции есть общее определение - точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно называется максимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x_max, а точки минимума - x_min.

Правило нахождения интервалов монотонности:

1. Вычисляем производную данной функции, а затем находим точки, в которых производная равна 0 или не существует.

2. Критическими точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

3. Определяем знак производной на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале _{, то функция возрастает, если , то функция убывает.}

Задание: Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции:

Решение:

Вычислив первую производную и приравнивая её нулю , находим критические точки х₁ = 0; х₂ = 6.

Точки х = 0, х = 2, х = 6 разбивают числовую ось на интервалы (-∞,0), (0,2), (2,6) и (6, +∞), причем в интервалах (-∞,0), (0,2) и (6,+∞), следовательно, в этих интервалах функция возрастает; в интервале (2,6), следовательно, в этом интервале функция убывает. В точке х = 2 производная не существует.

Практические занятия:

Исследование функции

Задания для самостоятельного выполнения

1. Найти экстремумы функции

2. Найти промежутки возрастания и убывания функции

3. Найдите экстремумы функции:

4. Найдите экстремумы функции:

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Какая точка называется точкой минимума функции?

2. Какая точка называется точкой максимума функции?

3. Какие точки называются точками экстремума функции?

4. Сформулируйте правило нахождения интервалов монотонности.

4.3.4. Выпуклость графика функции. Точка перегиба

Основные понятия и термины: точка перегиба

План изучения темы:

1. Устный опрос

2. Теоретическая часть

3. Практическая работа 40

Краткое изложение теоретических вопросов:

График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции.

Выпуклый график Вогнутый график

<0. >0.

Если вторая производная на некотором интервале отрицательна (положительна), то график функции на данном интервале выпуклый (вогнутый).

Точки, в которой график функции меняет направление выпуклости, называют точками перегиба графика функции.

Пример. Исследуйте на выпуклость и найдите точки перегиба:

Практические занятия:

Построение графика функции с помощью производной

Задания для самостоятельного выполнения

1. Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x².

2. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

Форма контроля самостоятельной работы:

• Устный опрос

• Проверка тетрадей

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Какой график называется выпуклым?

2. Какой график называется вогнутым?

3. Какая точка называется точкой перегиба графика функции?