Раздел 4. Начала математического анализа
Тема 4.1. Пределы функции
4.1.1. Последовательности. Предел функции
Основные понятия и термины: последовательность, предел функции
План изучения темы:
1. Устный опрос
2. Теоретическая часть
3. Практическая работа 33
4. Практическая работа 34
Краткое изложение теоретических вопросов:
Рассмотрим
последовательность
a1=
;
a2=
;
a3=
;
а4=
;
а5=
…
а100=
В
этой последовательности при n
аn
3
Пример: Вычислить предел:
1)
2)
3)
Практические занятия:
1. Раскрытие неопределенности ∞/∞
2. Раскрытие неопределенности 0/0
Задания для самостоятельного выполнения
Составить конспект на тему: Раскрытие неопределенностей
Форма контроля самостоятельной работы:
Устный опрос
Проверка тетрадей
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Как символически записывается определение предела?
2. Может ли последовательность иметь два разных предела?
4.1.2. I и II замечательные пределы
Основные понятия и термины: первый замечательный предел, второй замечательный предел
План изучения темы:
1. Устный опрос
2. Теоретическая часть
3. Практическая работа 35
Краткое изложение теоретических вопросов:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Пример. Найти пределы:
Практические занятия: 1. Вычисление пределов
Задания для самостоятельного выполнения
Составить конспекты на темы:
1. Первый замечательный предел
2. Второй замечательный предел
Форма контроля самостоятельной работы:
Устный опрос
Проверка тетрадей
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Сформулируйте первый замечательный предел.
2. Сформулируйте второй замечательный предел.
Тема 4.2. Производная
4.2.1. Приращение функции. Производная
Основные понятия и термины: производная функции
План изучения темы:
1. Устный опрос
2. Теоретическая часть
3. Практическая работа 36
Краткое изложение теоретических вопросов:
При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке x0 со значениями этой функции в различных точках x, лежащих в окрестности x0, удобно выражать разность f(x) – f(x0) через разность x – x0, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции».
Пусть x – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки x0. Разность x – x0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке x0 и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x –x0, откуда следует, что x = x0 + Δx.
Говорят также, что первоначальное значение аргумента x0 получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) – f(x0) = f (x0 +Δx) – f(x0).
Эта разность называется приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению Δf = f (x0 + Δx) – f (x0), откуда f (x) = f (x0 +Δx) = f (x0) + Δf.
При фиксированном x0 приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращение зависимой переменной.
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю (если этот предел существует), представляет собой первую производную этой функции по данному аргументу. Поэтому формулу запишем в виде:
уꞌ=
-
Функция
Производная
с
0
х
1
n
-
sin x
cos x
cos x
- sin x
tg x
ctg x
-
arcsin x
arccos x
-
arctg x
arcctg x
-
a
a
e
e
log
ln x
Практические занятия:
1. Применение формул дифференцирования
Задания для самостоятельного выполнения
Составить конспект на тему: Производная функции
Форма контроля самостоятельной работы:
Устный опрос
Проверка тетрадей
Вопросы для самоконтроля по теме:
1. Что называется приращением аргумента?
2. Что называется приращением функции?
3. Что называется производной функции?
4. Как называется процесс вычисления производной?