9. Основные теоремы о пределах. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно-малой функцией.

1. Функция не может иметь больше одного предела.

2. Если f(x) и g(x) имеют пределы в точке x₀, то: предел суммы равен сумме пределов, предел произведения функций равен произведению их пределов, предел частного функций равен частному их пределов (естественно знаменатель не равен нулю).

3. Постоянный множитель можно вынести за знак предела.

4. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.

Если функция f(x) имеет предел равный a, то её можно представить в виде f(x) = a + α(x), где α(x) – бесконечно малая функция.

lim f(x) = a, x → x₀

f(x) = a + α(x)

Если функцию f(x) в окрестности точки a можно представить как f(x) = a + α(x), где α(x) → 0, то предел функции равен a.

10. Вычисление пределов функций. Рациональная дробь на бесконечности. Первый и второй замечательный предел (привести основную идею доказательства).

Иногда невозможно сразу найти предел функции, потому что возникают неразрешаемые выражения. Преобразования, позволяющие ликвидировать эти неопределенности, называются раскрытием неопределенностей.

Для раскрытия неопределенности рациональной дроби на бесконечность поступают так: выносят из числителя и из знаменателя максимальную степень.

Первый замечательный предел: lim (sinx / x) = 1, x → 0

Доказательство (подробно на странице 120):

Так как функция sinx непрерывна, то sinx → sin0 = 0, при x → 0. Поэтому всё выражение представляет собой неопределенность вида 0/0 (ноль делить на ноль). Из определения тригонометрических функций мы имеем: 0 < sinx < x < tgx (при 0 < x < pi/2).

Делим на sinx > 0, получаем: 1 < x/sinx < 1/cosx или 1 > sinx/x > cosx.

Предел единицы равен единице, и предел косинуса равен единице. Соответственно, функция по середине будет иметь точно такой же предел, то есть единицу.

Второй замечательный предел: lim (1 + 1/x)^x = e, x → inf

Доказательство (подробно на странице 121):

Пусть x_n – произвольная переменная, стремящаяся к бесконечности. И пусть [x_n]=k_n – целая часть числа x_n. Тогда:

k_n <= x_n <= k_n+1 <= x_n+1 < k_n+2

и

(1+1/(k_n+1))^kn+1 < (1+1/x_n)^xn+1 < (1+1/k_n)^kn+2 < e(1+1/k_n)²

При x_n → inf [x_n] = k_n → inf, откуда первый и последний члены цепочки неравенств стремятся к e. Поэтому всё выражение стремится к e.

11. Эквивалентные бесконечно-малые функции. Сравнение бесконечно-малых функций. Переход к эквивалентностям в пределах. Примеры.

Заданы бесконечно малые функции f(x) и g(x). Если предел отношения f(x) к g(x) равен нулю при x → x₀, то можно записать, что f(x) = o(g(x)). То есть f(x) это о-малое от g(x) при x → x₀. В данном случае f(x) является бесконечно малой функцией более высшего порядка малости, чем g(x). Если предел их отношения равен единице при x → x₀, то такие функции называются эквивалентными.

В виде формул:

lim f(x)/g(x) = 0, x → x₀ ==> f(x) = o(g(x)). lim f(x)/g(x) = 1, x → x₀ ==> f(x) ≈ g(x).

Примеры:

x³ = o(x²) при x → 0 xⁿ = o(x^m) при x → 0, m < n

Эквивалентные функции:

sinx ~ x a^x-1 ~ xlna

1-cosx ~ x²/2 (1+x)^m - 1 ~ mx

ln(1+x) ~ x (1+x)^1/n - 1 ~ x/n

e^x-1 ~ x

Переход к эквивалентностям в пределах.

x→0: lim (e^2x-1)/x = [0/0] = (переходим к эквивалентной функции) = lim (2x + o(2x))/x = lim (2x/x) = 2.

12. Непрерывность функции. Равномерная непрерывность. Примеры. Непрерывность в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций (привести примеры поиска наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке). Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции (привести примеры поиска корня уравнения). Точки разрыва. Классификация точек разрыва.

Функция называется непрерывной в точке x₀, если функция определена в точке x₀ и предел функции равен её значению в этой точке:

lim f(x) = f(x₀), x → x₀.

Альтернативное определение: функция называется непрерывной в точке x₀, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Функция на отрезке [a, b] называется равномерно непрерывной, если для любого ε > 0, существует такое d > 0, что для любых двух точек интервала x и y, которые удовлетворяют неравенству |x-y| < d, выполняется неравенство: |f(x)-f(y)| < ε.

Свойства непрерывных функций:

1. Если функции f(x) и g(x) являются непрерывными в точке x₀, то их сумма, разность, произведение и частное также являются непрерывными в этой точке.

2. Пусть задана функция f на множестве X и функция g на множестве Y, причем f(X) принадлежит Y. Если у функций f и g существуют конечные или бесконечные пределы, то у функции g(f(x)) существует конечный или бесконечный предел при x → x₀ равный g(y).

3. Если функция f(x) непрерывна в точке x₀, а функция g(y) непрерывна в точке y₀ = f(x₀), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке x₀.

4. Если функция f(x) непрерывна на [a, b] причём f(a) = A, а f(b) = B, то для любой точки C между A и B существует t, принадлежащая [a, b], такая что f(t) = C.

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций:

Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на нём и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема о промежуточных значениях:

Свойство 3 ^. Непрерывная на [a, b] функция принимает все промежуточные значения между её значениями на концах отрезка.

Пример:

x-cosx=0 имеет корень на интервале (0; pi).

f(x)=x-cosx непрерывна на [0; pi] и принимает на концах отрезка значения -1, pi+1 (c разными знаками).

Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), определенной в окрестности точки x₀, если функция не определена в этой точке, или не является непрерывной в ней.

Если пределы функции справа и слева в точке разрыва существуют, конечны и равны, то это устранимая точка разрыва. Если не равны, то x₀ – точка разрыва первого рода. В любом другом случае x₀ – точка разрыва второго рода.