1. Понятие о множествах. Логическая символика. Числовые множества. Множество действительных чисел. Расширенная числовая прямая. Окрестность точки.

Множество – совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку.

Обычно множества обозначают большими буквами, а их элементы – маленькими: X = {x₁, x₂, …, x_n}.

Отношения между элементами и множествами:

1. Элемент принадлежит / не принадлежит множеству

2. Множество является / не является подмножеством другого множества (множество А является подмножеством множества B, когда оно содержит все элементы B).

Логическая символика:

1. α → β: из предложения α следует предложение β.

2. α ↔ β: из предложения α следует предложение β и из β следует α (эквивалентность предложений).

3. предложение α выполняется для каждого x, принадлежащего A (квантор всеобщности).

4. существует такой элемент y, принадлежащий B, для которого выполняется β (квантор существования).

5. отрицание предложения а. «Не а».

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Для некоторых числовых множеств существуют общепринятые обозначения:

N – множество натуральных чисел.

Z – множество целых чисел.

Q – множество рациональных чисел.

R – множество действительных чисел.

Множество действительных чисел это множество всех произвольных чисел, рациональных и иррациональных, обозначаемое как R.

Между действительными числами и точками некоторой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие: числу 0 приводится в соответствие точка О на прямой (нулевая точка), длина некоторого отрезка принимается за единицу. Каждому действительному числу a соответствует точка, отстоящая от нулевой на расстояние a справа, если a>0 и слева, если a<0. Рассматриваемая прямая называется числовой прямой. Если добавить к числовой прямой два элемента – плюс бесконечность и минус бесконечность, получится расширенная числовая прямая.

Произвольный интервал (a, b), содержащий точку c (a < c < b), называется окрестностью точки с.

U(a, ε) – эпсилон-окрестность с центром в точке a и шириной окрестности ε. Интервал: (a-ε, a+ε).

2. Ограниченность множеств. Грани числовых множеств. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества (примеры).

Множество X называется ограниченным сверху, если существует такое число b, что для всех элементов множества Х выполняется: x <= b. Таким же образом, множество X называется ограниченным снизу, если существует такое число с, что для всех элементов множества Х выполняется: x >= c.

Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу. Иначе множество называется неограниченным.

Всякое множество, ограниченное сверху/снизу, имеет верхнюю/нижнюю грань. Верхней гранью называется наименьшее число, ограничивающее множество сверху, а нижней гранью называется наибольшее число, ограничивающее множество снизу.

Два множества называют равномощными или эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, то есть существует закон, по которому любому элементу множества A соответствует какой-нибудь элемент множества B.

Если множество X эквивалентно множеству натуральных чисел N (x ~ N), то такое множество счётно. Грубо говоря, его элементы можно посчитать. В противном случае множество называется несчётным.

Пример счётного множества: множество рациональных чисел. Пример несчётного множества: множество всех действительных чисел.

3. Понятие функции, как отображения. График функции. Способы задания функции. Графики основных элементарных функций. Параметрическое и неявное задание функции. Понятие сложной функции (композиции функций). Понятие обратной функции.

Говорят, что задана функция y=f(x), определенная на множестве X со значениями в множестве Y (отображение множества X на множество Y), если каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие элемент f(x) из множества Y. При этом пишут:

f: X → Y.

Графиком функции называется множество точек прямоугольной системы координат (G), каждая из которых задаётся согласно закону соответствия между x и y=f(x).

G = { (x, y); x прин. X, y=f(x), y прин. Y}

Способы задания функции: аналитический, графический, табличный.

Основные элементарные функции (знать их графики!):

y = C – постоянная

y = x^a – степенная

y = a^x – показательная

y = log_ax

y = sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Параметрическое задание: зависимость между x и y задается системой уравнений { x=x(t), y=y(t) }, где t – вспомогательный параметр.

Неявное задание: функция задана равенством F(x, y)=0, где F – функция от двух переменных x и y.

Сложная функция – функция от функции. z = F( f(x) ).

Если f(x) отображает множество X в Y, а g(y) отображает множество Y в Z, то функция z=g(f(x)) называется суперпозицией функций f и g.

Пусть есть функция f(x), которая отображает множество X на Y.

f: X → Y

Предположим, что каждому элементу множества Y можно поставить в соответствие элемент множества X, такой, что y=f(x). Отображение Y в X (g: Y → X) называется обратным к f. Соответственно функция x=g(y) называется обратной функцией по отношению к y=f(x).

4. Числовая последовательность (понятие числовой последовательности как функции целочисленного аргумента). Определение предела. Бесконечно-малые и бесконечно-большие числовые последовательности. Ограниченность числовой последовательности. Единственность предела числовой последовательности (с доказательством). Свойства пределов, связанных с арифметическими операциями (с доказательством). Переход к пределу в неравенствах (привести примеры).

Пусть каждому натуральному числу n = 1, 2, … по определенному закону поставлено в соответствие число x_n. Тогда говорят, что этим определена числовая последовательность x_n = {x₁, x₂, …}.

Иными словами, числовая последовательность задается функцией целочисленного аргумента x_n = f(n).

Предел – конечная или бесконечно удалённая точка числовой прямой, если какова бы ни была окрестность этой точки, она содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера.

Числовая последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю, и бесконечно большой, если её предел равен бесконечности.

Числовая последовательность ограничена сверху/снизу, если множество её значений ограничено сверху/снизу.

Если числовая последовательность ограничена, то она имеет только один предел.

Доказательство: допустим, x_n имеет два разных предела a и b. Покроем эти точки соответственно интервалами (c, d) и (e, f) настолько малой длины, чтобы эти интервалы не пересекались. Так как x_n → a, то в первом интервале (c, d) находятся все элементы последовательности x_n за исключением некоторого конечного их числа, но тогда второй интервал (e, f) не может содержать в себе бесконечное число элементов x_n, а значит x_n не может стремиться к b. Пришли к противоречию, теорема доказана.

Свойства пределов:

1. lim(x_n ± y_n) = lim x_n ± lim y_n

2. lim(x_ny_n) = lim x_n ^. lim y_n

3. lim (x_n / y_n) = lim x_n / lim y_n (lim y_n != 0)

Доказательства:

Учебник «Дифференциальное и интегральное исчисление», страницы 42–43.

Переход к пределу в неравенствах.

Пусть даны две последовательности: x_n и y_n. lim x_n = a, lim y_n = b.

a < b: существует такое n₀, что для любого n > n₀ выполняется: x_n < y_n.