Стохастическая модель при случайной величине спроса. Страховой запас

Система управления запасами подвержена влиянию многих факторов. Поэтому спрос со стороны потребителей запасов может оказаться случайной величиной. В этом случае интенсивность расходования запаса b также будет случайной величиной. Следовательно, для бесперебойной работы производства необходимо иметь некоторый страховой запас . Найдем его значение.

Через обозначим математическое ожидание интенсивности расходования запаса. Тогда за интенсивность расходования запаса можно принять величину . Вероятность того, что интенсивность расходования запаса не превысит интенсивность, равную , должна быть достаточно большой, чтобы обеспечить стабильную работу предприятия. Как правило эту вероятность выбирают из промежутка .

Пусть интенсивность расходования запаса является случайной величиной с заданным законом распределения (плотностью вероятности). Тогда нетрудно найти вероятность того, что интенсивность расходования запаса не превысит интенсивность, равную .

Покажем, как рассчитать страховой запас, когда интенсивность расходования запаса подчиняется нормальному закону распределения:

. (21.1)

Здесь – дисперсия интенсивности расходования запаса.

Отметим, что на практике величины и заменяют следующими статистиками:

(средняя величина спроса),

,

где – частота, с которой наблюдается величина спроса ; m – количество наблюдений.

Примем обозначение

.

Вероятность того, что интенсивность расходования запаса не превысит величину , называется коэффициентом надежности и выражается функцией Лапласа:

, (21.2)

где

. (21.3)

Аналогично, вероятность того, что интенсивность расходования запаса будет больше , равна

. (21.4)

q называют коэффициентом риска.

Коэффициенты надежности и риска связаны соотношением

. (21.5)

Их значения (т. е. значения функции Лапласа или, по-другому, интеграла вероятностей) табулированы.

Зная p или q, по таблице находят значение . Затем определяют страховой запас из формулы (21.3):

. (21.6)

Средние затраты на поставку вычисляют по формуле

,

где учтено, что интенсивность расходования запаса равна математическому ожиданию этой интенсивности.

Средние затраты на хранение запаса равны сумме затрат на хранение переменной части запаса, убывающей с интенсивностью расходования запаса , и постоянной величины, равной страховому запасу , т. е.

.

Суммарные средние затраты составляют

. (21.7)

Уравнение для определения оптимального объема одной поставляемой партии запасов имеет вид:

.

Отсюда находим, что

. (21.8)

Оптимальный интервал времени между поставками

. (21.9)

Суммарные оптимальные средние затраты

. (21.10)

Опишем порядок определения страхового запаса при решении практических задач.

1. Выдвигается гипотеза о законе распределения случайной величины спроса. С этой целью эмпирические данные группируют и строят гистограмму. По оси абсцисс откладывается величина спроса b, по оси ординат – частота r. Непрерывной линией соединяют середины верхних оснований прямоугольников, составляющих гистограмму. Если получена куполообразная линия, симметричная относительно (рис. 21.1), то делается предположение о нормальном распределении.

2. Выдвинутую гипотезу надо либо подтвердить, либо опровергнуть. Для этого применяют один из так называемых критериев согласия, к примеру, критерий Пирсона. Составляют статистику.

Рис. 21.1

, (21.11)

где – эмпирические частоты, – теоретические частоты.

Для нормального распределения

, (21.12)

где h – длина шага между соседними значениями спроса.

По таблице критических точек распределения «хи-квадрат» по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяется критическое значение . Количество степеней свободы для нормального распределения , где l – число интервалов группировки.

Если , то выдвинутая гипотеза принимается, в противном случае – отвергается.

3. После выявления закона распределения находят величину страхового запаса по формуле (21.6).

Пример 21.1. На машиностроительном предприятии для упаковки готовой продукции перед отправкой потребителю используется специальный материал. Его временное отсутствие ведет к задержке поставок, что недопустимо. Сведения о суточной потребности в упаковочном материале представлены в табл. 21.1.

Таблица 21.1

Номер интервала (i)	Интервал интенсивности потребления	Частота ( )	Номер интервала (i)	Интервал интенсивности потребления	Частота ( )
1	0–10	9	6	50–60	41
2	10–20	15	7	60–70	38
3	20–30	25	8	70–80	22
4	30–40	38	9	80–90	12
5	40–50	46	10	90–100	5

Определить величину страхового запаса, гарантирующего бесперебойное снабжение с надежностью .

Решение. Построим гистограмму (рис. 21.2), по которой нетрудно выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения расходования упаковочного материала.

Рис. 21.2

Через обозначим середину i-го интервала интенсивности потребления, (см. таблицу 21.2).

Найдем математическое ожидание

,

где ,

и среднеквадратическое отклонение

.

Вычислим теоретические частоты по формуле (21.12), учитывая, что , :

,

где

, .

Результаты вычислений приведены в таблице 21.2.

Таблица 21.2

i
1	5	9	–2,08	5,51	0,05
2	15	15	–1,60	13,32	0,21
3	25	25	–1,12	25,60	0,01
4	35	38	–0,64	39,06	0,03
5	45	46	–0,17	47,24	0,03
6	55	41	0,31	45,68	0,48
7	65	38	0,79	35,08	0,24
8	75	22	1,27	21,40	0,02
9	85	12	1,75	10,37	0,26
10	95	5	2,23	3,99	0,26

Для применения критерия Пирсона найдем из таблицы критических точек распределения «хи-квадрат»

.

Сравнивая с , убеждаемся, что .

Значит, гипотеза о нормальном законе распределения расходования упаковочного материала подтвердилась. Тогда страховой запас по формуле (21.6) равен .

Величину найдем из уравнения (21.2), пользуясь таблицей значений функции Лапласа.

Таким образом, .