Функции спроса и предложения. Паутинная модель рынка. Эластичность функции

Функции спроса и предложения являются основными категориями рыночной экономики.

Функция спроса

Кривая совокупного спроса показывает, какое количество товаров и услуг потребитель готов приобрести при каждом возможном значении цены.

Математическую модель спроса при неизменности всех факторов, кроме цены, представляют в виде функции

,

где q – количество товара (услуг), p – цена товара (услуг).

При возрастании цен количество товаров и услуг, которые потребитель готов купить, уменьшается. Поэтому все функции спроса являются невозрастающими. График функции спроса изображен на рис. 19.1.

Рис. 19.1 Рис. 19.2

Как правило, функцию спроса представляют в виде обратной функции , которая также является невозрастающей (см. рис. 19.2).

Функция предложения

Предложение возникает при условии, что потребитель готов приобрести товар и услуги. Величина (объем) предложения определяется количеством товаров и услуг.

Математическую модель предложения при неизменности всех факторов, кроме цены, представляют в виде функции

,

где s – количество товара (услуг), p – цена товара (услуг).

Эмпирически установлено, что с ростом цены товара (услуг) растет объем его предложения за данный период времени. Следовательно, функция предложения является неубывающей. Этот факт называют также законом предложения.

Функция предложения, как и функция спроса, часть представляют в виде обратной функции , которая также является неубывающей (см. рис. 19.3).

Рис. 19.3

При равенстве спроса предложению цена на товар является равновесной.

Паутинная модель рынка

Обозначим цену товара р, объем спроса d, величину предложения s (от первых букв английских слов price - цена, demand - спрос, supply - предложение). Очевидно, d и s зависят от р, т. е. и . При малых р имеем (спрос превышает предложение), при больших р, наоборот, . Пусть и непрерывные функции. Тогда непрерывная функция имеет разные знаки и по известной теореме о существовании корня найдется значение , при котором . Иными словами, существует такая цена , для которой , т. е. спрос равен предложению. Цена называется равновесной, спрос и предложение при этой цене также называются равновесными.

Установление равновесной цены – одна из главных задач рынка. Рассмотрим простую модель поиска равновесной цены – так называемую паутинную модель. Она объясняет феномен регулярно повторяющихся циклов изменения объемов продажи и цен.

Предположим, что решение о величине объема производства принимается в зависимости от цены товара в предыдущий период времени.

Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 19.4.

Рис. 19.4

Пусть в начальной точке предложение товара имеет значение и выбрано так в зависимости от цены товара в предыдущий период. Поскольку эта цена больше равновесной, то на кривой спроса dd ей соответствует объем покупок . Производителю, исходя из такой информации о состоянии рынка, приходится опустить цену товара до величины . Цена ниже равновесной, поэтому на рынке увеличивается спрос до величины . На кривой предложения ss этой величине соответствует цена предложения и т. д. В этом случае спираль сходится к точке рыночного равновесия .

Замечание. Описанная «спираль» не всегда «скручивается». В некоторых случаях она может и «раскручиваться», как показано, на рис. 19.5.

Сходимость или расходимость описанной выше «спирали» зависит от разных факторов, один из них – так называемая эластичность (спроса, соответственно, предложения).

Рис. 19.5

Эластичность функции

Для исследования экономических процессов применяется понятие эластичности функции, связанное с дифференцированием.

Эластичность функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной x при :

. (19.1)

На практике эластичность функции вычисляют по следующей приближенной формуле:

. (19.2)

Формула (19.2) наполняет понятие эластичности следующим экономическим смыслом: эластичность показывает, на сколько процентов изменится исследуемый показатель y при изменении аргумента x на один процент.

Отметим, что приращения и в формуле (19.2) должны быть небольшими, т. к. ее получили из формулы (19.1) отбрасыванием предельного перехода. В свою очередь, небольшое значение означает, что в результате приращения значения аргумента не выходят за пределы области определения исследуемой функции. В силу непрерывности функции небольшое значение гарантирует, что будет также небольшим.

Замечание. В экономике используются суммарные, средние и предельные величины.

Под суммарной величиной понимают любую функцию независимой переменной, например, .

Средняя величина равна отношению суммарной величины к независимой переменной: .

Предельной (маржинальной) величиной называют производную от суммарной величины: .

В терминах предельных и средних величин эластичность функции определяется формулой:

.

Эластичность спроса и предложения по цене

Для функции спроса сначала по формуле (19.1) найдем точное значение ее эластичности по цене.

,

а затем – приближенное значение по формуле (19.2):

,

где q – количество товара, p – его цена.

Из последней формулы следует, что эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится спрос на какой-либо товар при изменении цены товара на один процент.

Эластичность характеризует чувствительность потребителей к изменению цен на товары.

Если , то спрос считается эластичным. При этом увеличение цены на один процент приведет к снижению спроса более чем на один процент.

Если , то спрос считается неэластичным. Увеличение цены на один процент приведет к снижению спроса менее чем на один процент.

Если , то говорят о спросе с единичной эластичностью или нейтральном спросе.

Аналогично вычисляется эластичность предложения по цене:

,

где s – количество предлагаемого на продажу товара, p – цена товара.

Рассмотрим пример.

Пример 19.1. Заданы функции спроса и предложения:

, ,

где q – количество покупаемого товара, s – количество предлагаемого на продажу товара, p – цена товара.

Определить эластичность спроса и предложения, а также изменение дохода при изменении цены на .

Решение. Найдем эластичность спроса и предложения

;

.

Спрос и предложение эластичны по цене, т. к. и по абсолютной величине больше единицы. Следовательно, при увеличении цены на 4 % спрос уменьшится на , а доход уменьшится на . При уменьшении цены на 4 % спрос увеличится на , а доход увеличится на .