Решение задач нелинейного программирования градиентным методом

Изучим вопрос приближенного решения ЗНП градиентным методом, когда целевая функция зависит от двух переменных. Суть метода состоит в построении последовательности

(17.1)

решений системы ограничений ЗНП по следующему алгоритму: в качестве точки выбирается, вообще говоря, любая точка области решений и затем каждая последующая точка получается из предыдущей по формуле:

, (17.2)

где

, (17.3)

 – числа, выбираемые так, чтобы обеспечить сходимость последовательности (17.2) к оптимальному решению .

Знак перед зависит от характера экстремума целевой функции: выбирают знак плюс, если ищется максимум, и минус – минимум.

В общем случае процесс нахождения последовательных приближений (17.2) бесконечен. Тогда на некотором шаге его останавливают и берут за приближенное значение оптимального решения . В редких случаях процесс завершается за конечное число шагов, приводя к оптимальному решению.

Для нахождения составим выражение

,

являющееся функцией .

Продифференцировав по , получим необходимое условие экстремума

,

которое после элементарных преобразований примет вид

, (17.4)

или на «языке» скалярного произведения

. (17.4)

Уравнение (17.4) или (17.4) является соотношением для определения .

Градиентный метод допускает следующую геометрическую интерпретацию.

Последовательность (17.1) решений системы ограничений ЗНП представляет собой последовательность точек на плоскости .

Отрезок, соединяющий точки и , с одной стороны, перпендикулярен к линии уровня функции , проходящей через точку , т. к. направлен по градиенту:

, (см. (17.2)).

С другой стороны, касается линии уровня, проходящей через точку , т.к. в виду условия (17.4) он перпендикулярен к следующему отрезку, который в свою очередь перпендикулярен к этой линии уровня. Таким образом, происходит «спуск» по двум взаимно перпендикулярным направлениям из точки к точке – оптимальному решению ЗНП (см. рис. 17.1).

Рис. 17.1

Заметим, что градиентным методом называют также методом наискорейшего спуска.

Применим градиентный метод к решению следующих ЗНП.

Пример 1. Найти с точностью до 0,01 минимум функции

при условиях

Решение. Найдем частные производные 1-го порядка целевой функции:

, .

Тогда по формуле (17.4)

. (17.5)

1-ый шаг: за исходную возьмем точку , лежащую в области допустимых решений OAB (см. рис. 17.2).

Рис. 17.2

Подставив в формулу (17.5) координаты точки , найдем .

По формуле (17.2)

.

Подставляя в (17.5), получим

.

Запишем уравнение (17.4) для нахождения :

или

, , .

Следовательно, .

2-ой шаг:

, ,

,

,

или

, , ,

.

3-ий шаг:

, ,

,

,

или

, , ,

.

4-ый шаг:

, ,

,

,

или

, , ,

.

5-ый шаг:

, ,

,

,

или

, , ,

.

Последовательность точек , изображена на рис. 17.3.

Сравним координаты точек и :

.

Имеем , .

Ответ: – точка минимума и .

Рис. 17.3

Рассмотрим теперь ЗНП, когда целевая функция имеет экстремум на границе области решений системы ограничений. В этом случае на некотором шаге получим точку , которая не лежит в области решений. Тогда вместо нее берут точку , которая лежит на пересечении направления спуска с границей области решений, а все последующие точки находятся путем проектирования на эту границу точек, полученных градиентным методом. Экстремум достигается в той точке, в которой градиент ортогонален границе области решений.

Пример 2. Найти

при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений задачи, четырехугольник OABC, изображена на рис. 17.4.

Рис. 17.4

Найдем частные производные целевой функции:

, .

и, подставив в формулу (17.4), получим

. (17.6)

1-ый шаг: (см. рис. 17.4).

По формуле (17.6) находим .

По формулам (17.2) и (17.6) имеем

,

.

Найдем из уравнения

или

, , .

Тогда, .

Нетрудно видеть, что (см. рис. 17.4).

2-ой шаг:

,

,

или

,

, .

.

Точка лежит вне области решений OABC, т.к. не выполняются первое и второе неравенства системы ограничений задачи (см. рис. 17.4). Поэтому вместо нее возьмем точку , лежащую одновременно на направлении спуска и границе области решений АВ (см. рис. 16.4). Таким образом, координаты точки путем подбора должны удовлетворять соотношению , т. е.

, , .

Отсюда .

3-ий шаг:

Точка , т. е. попала на границу области допустимых решений и потому надо двигаться по AB в сторону увеличения целевой функции.

Направление на прямой АВ задается либо вектором , либо вектором . Найдем производную целевой функции по направлению в точке по формуле:

Значит, в этом направлении возрастает, и потому за направление спуска возьмем .

Как и в предыдущих шагах получим

,

или ,

, .

(см. рис. 16.4). Найдем

.

Следовательно, проекция градиента на направление равна нулю и, значит, в точке целевая функция достигает максимума .

В заключение отметим, что, решая ЗНП градиентным методом, вообще говоря, находят точку локального экстремума. Поэтому градиентный метод целесообразно применять для решения ЗНП, в которых локальный экстремум совпадает с глобальным. Именно такие ЗНП были рассмотрены в примерах этой лекции. Они относятся к так называемым задачам выпуклого программирования и в нашем учебном пособии не изучаются.