Временные параметры сетевых графиков
При анализе сетевых графиков различают временные параметры событий и работ.
К временным параметрам событий относятся следующие:
ранний срок свершения события
;поздний срок свершения события
;резерв времени события
.
Для их расчета существуют различные методы. Воспользуемся одним из них – методом динамического программирования.
Ранним сроком свершения события j называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы. Он вычисляется как продолжительность самого длительного из предшествующих путей по рекуррентной формуле:
(26.1)
где n – номер завершающего события сетевого графика.
Поздним сроком
свершения события i
называется самый поздний момент
времени, после которого остается ровно
столько времени, сколько необходимо
для завершения всех работ, следующих
за этим событием. Он вычисляется как
разность между
и длиной максимального из последующих
путей по рекуррентной формуле:
(26.2)
Резервом времени события i называют разность между поздним и ранним сроками свершения события:
. (26.3)
Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличение срока выполнения комплекса работ.
Резерв времени критических событий равен нулю, поскольку ранние и поздние сроки у этих событий совпадают.
Пример 26.1. Для условий примера 25.1 определить ранний и поздний сроки свершения всех событий и их резерва времени.
Решение.
Пользуясь формулами (26.1) – (26.3) заполним
таблицу 26.1. При этом расчеты
выполняются при движении вдоль сетевого
графика (см. рис. 25.4) слева направо,
а расчеты
– справа налево.
Таблица 26.1
Номер события |
Ранний срок свершения событий (недели) |
Поздний срок свершения событий (недели) |
Резерв времени (недели) |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
2 |
|
|
11 |
3 |
|
|
0 |
4 |
|
|
0 |
5 |
|
|
5 |
6 |
|
|
0 |
7 |
|
|
0 |
8 |
|
|
0 |
9 |
|
|
0 |
10 |
|
|
0 |
Из табл. 26.1 видно, что событие 2 можно задержать на 11 недель, а событие 5 – на 5 недель.
Если число событий невелико, то событий можно фиксировать непосредственно на сетевом графике, воспользовавшись четырехсекторной схемой, как показано на рис. 26.1. В этом случае отпадает необходимость составления таблиц вида 26.1.
Рис. 26.1
Рассмотрим
временные параметры
работ.
Согласно временным параметрам событий
каждая работа
может начаться и окончиться в ранние,
поздние или другие промежуточные сроки.
Для начала работ они заключены в
промежутке
,
а для окончания работ –
.
Эти временные промежутки порождают
резервы времени работ. Среди них выделяют
следующие:
полный резерв времени;
частный резерв времени первого вида;
частный резерв времени второго вида;
независимый резерв времени.
Полный резерв времени работы определяется формулой:
. (26.4)
и показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится.
Метод
расчета
поясняется на рис. 26.2.
Рис. 26.2
Если увеличить время работы на величину , то у всех остальных работ, лежащих на пути, проходящем через работу , резерв времени сократится до нуля.
Частный резерв времени первого вида работы
определяется формулой:
. (26.5)
Он
показывает, на сколько можно увеличить
продолжительность данной работы и
последующих работ без затрат резерва
времени предшествующих работ. Метод
расчета
поясняется на рис. 26.3.
Рис. 26.3
Нетрудно видеть, что
(26.6)
и,
следовательно,
.
Частный резерв времени второго вида работы определяется формулой:
. (26.7)
Он
показывает, на сколько можно увеличить
продолжительность данной работы и
предшествующих работ без нарушения
резерва времени последующих работ.
Метод расчета
поясняется на рис. 26.4.
Рис. 26.4
Нетрудно видеть, что
(26.8)
и,
следовательно,
.
Независимый резерв времени
работы
определяется формулой:
. (26.9)
Он может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы. Метод расчета поясняется на рис. 26.5.
Рис. 26.5
Нетрудно видеть, что
(26.10)
и
поэтому
.
Работы, лежащие на критическом пути, резервов времени не имеют. Отметим следующие соотношения:
а) если
на критическом пути лежит начальное
событие i,
то
;
б) если
на критическом пути лежит конечное
событие j,
то
;
в) если
на критическом пути лежит начальное и
конечное события i
и j,
но сама работа не принадлежит этому
пути, то
.
В заключение отметим еще один параметр сетевой модели.
Пусть задан некритический путь L.
Резервом
времени пути
называют разность между продолжительностью
критического пути
и продолжительностью пути L
–
,
т. е.
. (26.11)
Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути, без влияния на срок проекта.
Пример 26.2. Вычислить временные параметры работ для сетевого графика из примера 25.1.
Решение. Искомые временные параметры работ рассчитаем по данным табл. 25.1 и 26.1, а также по формулам (26.4), (26.5), (26.7) и (26.9).Результаты расчетов сведем в таблицу 26.2.
Таблица 26.2
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(0, 1) |
2 |
0 |
0 |
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
(0, 2) |
1 |
0 |
0 |
4 |
15 |
14 |
14 |
3 |
3 |
3 |
(1, 2) |
2 |
2 |
2 |
4 |
15 |
11 |
11 |
0 |
0 |
4 |
(1, 3) |
6 |
2 |
2 |
8 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
(2, 7) |
1 |
4 |
15 |
16 |
16 |
11 |
0 |
11 |
0 |
6 |
(3, 4) |
3 |
8 |
8 |
11 |
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
(3, 5) |
2 |
8 |
8 |
10 |
15 |
5 |
5 |
0 |
0 |
8 |
(4, 6) |
4 |
11 |
11 |
15 |
15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
(5, 7) |
1 |
10 |
15 |
16 |
16 |
5 |
0 |
5 |
0 |
10 |
(6, 7) |
1 |
15 |
15 |
16 |
16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
11 |
(7, 8) |
6 |
16 |
16 |
22 |
22 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
(8, 9) |
4 |
22 |
22 |
26 |
26 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
(9, 10) |
3 |
26 |
26 |
29 |
29 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Расчеты,
в частности, показывают, что работа (0,
2) должна начаться в промежутке
или
,
а закончиться – в промежутке
или
.
Полный резерв времени работы (0, 2)
показывает, что срок ее выполнения можно
увеличить на 14 недель.
Действительно,
через работу (0, 2) проходит только один
полный путь L:
продолжительностью
недель (см. рис. 25.4). Тогда по формуле
(26.11) резерв пути L
составит
недель.
Частный
резерв времени работы (0, 2) первого вида
недель, т. е. при сохранении общего
срока выполнения проекта на 14 недель
может быть задержано выполнение работы
(0, 2) и последующих работ, лежащих на пути
L:
(2, 7), (7, 8), (8, 9) и (9, 10).
Частный
резерв времени работы (0, 2) второго вида
недели, т. е. при сохранении общего
срока выполнения проекта на 3 недели
можно задержать выполнение работы (0,
2).
Независимый
резерв времени работы (0, 2)
недели, т. е. на 3 недели можно увеличить
продолжительность работы (0, 2) без
изменения резервов времени всех остальных
работ.
Замечание.
Если в процессе вычислений появляются
,
то их не берут во внимание.