Системы массового обслуживания с ожиданием (очередью). Формулы Литтла

В СМО с ожиданием (очередью) наряду с известными из предыдущей лекции показателями эффективности – вероятность отказа , относительная Q и абсолютная A пропускной способности, среднее число занятых классов вводят новые:

– среднее число заявок в системе;

– среднее время пребывания заявки в системе;

– среднее число заявок в очереди (длина очереди);

– среднее время пребывания заявки в очереди;

– вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Одноканальная система с неограниченной очередью

Решим следующую задачу.

Имеется одноканальная СМО с неограниченной очередью. В нее поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Требуется найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из следующих состояний: – канал свободен; – канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; – канал занят, одна заявка стоит в очереди; ; – канал занят, заявок стоят в очереди и т. д.

Размеченный граф состояний СМО показан на рис. 24.1. Он представляет процесс гибели и размножения для бесконечного числа состояний.

Рис. 24.1

Доказано, что предельные вероятности состояний СМО существуют только в том случае, когда среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок в единицу времени, т. е. или (см. (23.11)).

Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (23.6) и (23.5). Сначала найдем

.

Выражение в скобках представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем  и первым членом, равным 1. Известно, что эта сумма равна . Следовательно,

(24.1)

Очевидно, . Значит, – наибольшая вероятность и СМО вероятнее всего будет находиться в состоянии (отсутствие заявок в системе).

Среднее число заявок в СМО найдем по формуле математического ожидания с учетом числа заявок в системе (24.1):

(24.2)

Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (канал свободен) с вероятностью либо 1 (канал занят) с вероятностью :

. (24.3)

Отметим, что

. (24.4)

Найдем среднее число заявок в очереди из соотношения

с учетом формул (24.2) и (24.3)

. (24.5)

Среднее время нахождения СМО в том или ином состоянии равно среднему числу заявок, деленному на интенсивность потока заявок:

; ; . (24.6)

Формулы (24.6) называют формулами Литтла.

Для решаемой задачи они примут следующий вид:

; ; . (24.7)

Пример 24.1. Консервный завод имеет одну весовую площадку для взвешивания грузовых машин с овощами. Интенсивность потока грузовых машин 0,8 машин в час. Среднее время разгрузки одной машины составляет 1 час. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы весовой площадки, а также вероятность того, что ожидают своей очереди не более трех машин.

Решение. Найдем предельную интенсивность потока заявок по формуле (23.12)

.

В силу того, что предельная вероятность того, что у весовой площадки нет ни одной грузовой машины, существует и рассчитывается по формуле (24.1):

.

Вероятность того, что весовая площадка занята.

.

Вероятность того, что у весовой площадки находятся 1, 2, 3 грузовые машины (т. е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 грузовые машины) определим по формулам

, ,

.

По формулам (24.2) – (24.7) соответственно вычислим:

среднее число грузовых машин, находящихся на весовой площадке

;

среднее число заявок под обслуживанием

;

среднее число грузовых машин в очереди

,

а также

(часов); (час); (часа).

Вычисления показали, что эффективность разгрузки грузовых машин невелика. Для ее повышения необходимо уменьшить среднее время разгрузки грузовой машины.

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Решим очередную задачу.

Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. В нее поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Требуется найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из следующих состояний: – в системе нет заявок (все каналы свободны); – занят один канал, остальные свободны; – заняты два канала, остальные свободны; ; – заняты k каналов, остальные свободны; ; – заняты все n каналов (очереди нет); – заняты все n каналов, в очереди одна заявка; ; – заняты все n каналов, в очереди r заявок.

Размеченный граф состояний СМО показан на рис. 24.2. На нем показано, что интенсивность потока обслуживаний по мере роста числа заявок от 0 до n растет от  до n, т. к. соответственно растет число каналов обслуживания. При числе заявок большем чем n, интенсивность потока обслуживаний не меняется и равна n.

Рис. 24.2

Доказано, что предельные вероятности состояний СМО существуют только в том случае, когда . Используя формулы (23.6) и (23.5) для процесса гибели и размножения, нетрудно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний СМО, представленной на графе рис. 24.2:

(24.8)

Показатели эффективности n-канальной СМО с неограниченной очередью находят с помощью прежних рассуждений. Приведем их значения:

вероятность того, что заявка не попадает на обслуживание, а окажется в очереди –

, (24.9)

среднее число занятых каналов –

, (24.10)

среднее число заявок в очереди –

, (24.11)

среднее число заявок в системе –

, (24.12)

и вычисляют по формулам Литтла (24.7).

Замечание. Если , то любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т. е. вероятность отказа ; относительная пропускная способность ; абсолютная пропускная способность .

Пример 24.2. На АЗС прибывает поток легковых машин с интенсивностью машин в час. Средняя продолжительность обслуживания бензоколонкой одной легковой машины 5 минут. Определить минимальное количество бензоколонок , при котором очередь не будет расти до бесконечности. Вычислить характеристики обслуживания при .

Решение. По формуле (23.12) найдем предельную интенсивность потока заявок

.

Очередь не будет возрастать до бесконечности при , т. е. . Отсюда минимальное количество бензоколонок .

Вычислим характеристики СМО при .

По формуле (24.8) найдем вероятность того, что на АЗС нет легковых машин:

,

т. е. в среднем бензоколонки будут простаивать 6,25 % времени.

Вероятность того, что на АЗС будет очередь определим по формуле (24.9)

.

Среднее число легковых машин, находящихся в очереди, по формуле (24.11) составит

.

Среднее время ожидания в очереди по формуле (24.7) равно

(мин).

По формуле (24.12) найдем среднее число легковых машин на АЗС:

.

Среднее время нахождения легковых машин на АЗС по формуле (24.7) составит:

(мин).

Среднее число бензоколонок, занятых обслуживанием, по формуле (24.10) равно

.

Анализ характеристик обслуживания говорит о значительной перегрузке АЗС при трех бензоколонках.

СМО с ограниченной очередью

Рассмотрим СМО, в которых число заявок, находящихся в очереди, не превосходит m.

Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, то она покидает СМО необслуженной, т. е. получает отказ.

По изложенной выше методике получают значения для предельных вероятностей состояний СМО и показатели ее эффективности.

В табл. 24.1 приведены соответствующие формулы для одноканальной и многоканальной СМО с числом заявок в очереди, не превосходящих m.

Таблица 24.1

Одноканальная СМО	Многоканальная СМО

Окончание таблицы 24.1

;