УДК 330.45(075.8)

Математические методы и модели исследования операций в экономике: Учебное пособие / Составители: Кустов Ю. А., Кустова С. А. – Рыбинск, 2010. 1 ч. – 101 с.; 2 ч. – 92 с.

В учебном пособии изложены математические методы и модели для решения прикладных задач управления экономическими процессами: балансовые модели, модели линейного, нелинейного и динамического программирования, модели управления запасами и сетевого планирования и управления, модели систем массового обслуживания, модели производственных процессов и потребительского выбора, модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях.

Теоретический материал сопровождается поясняющими примерами.

Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080502.65 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)» и направлению подготовки 080200.62 «Менеджмент».

РЕЦЕНЗЕНТЫ: кафедра математических и естественнонаучных дисциплин Ярославского филиала Московской академии предпринимательства при правительстве Москвы;

А. Л. Симаков, заведующий кафедрой приборостроения Ковровской государственной технологической академии, доктор технических наук, профессор.

Содержание

Задачи нелинейного программирования. Геометрический метод решения 4

Решение задач нелинейного программирования методом множителей Лагранжа 9

Решение задач нелинейного программирования градиентным методом 13

Модели потребительского выбора. Функция полезности. Линии безразличия. Оптимизация функции полезности 22

Функции спроса и предложения. Паутинная модель рынка. Эластичность функции 28

Детерминированные модели управления 34

запасами 34

Стохастическая модель при случайной величине спроса. Страховой запас 44

Системы массового обслуживания и их классификация. Марковский случайный процесс. Уравнения Колмогорова 50

Системы массового обслуживания с отказами. Формулы Эрланга 57

Системы массового обслуживания с ожиданием (очередью). Формулы Литтла 62

Модели сетевого планирования и управления. Сетевые графики 70

Временные параметры сетевых графиков 76

Анализ и оптимизация сетевого графика 82

Глава VI. Модели нелинейного программирования Задачи нелинейного программирования. Геометрический метод решения

Во многих экономических задачах зависимости между факторами являются нелинейными. Например, производственные затраты не пропорциональны объему выпуска, а зависят от него нелинейно, доход от реализации продуктов производства также оказывается нелинейной функцией цен и т. д. Поиск оптимальных решений таких задач приводит к задачам нелинейного программирования (ЗНП). В общем виде они формулируются как ЗМП (см. Лекцию 3):

(15.1)

при условиях

(15.2)

(15.3)

где хотя бы одна из функций и , является нелинейной.

Системы ограничений (15.2) и (15.3) определяют область допустимых решений задачи. В отличие от ЗЛП она не всегда является выпуклой.

Процесс нахождения решения ЗНП (15.1) – (15.3) с использованием геометрической интерпретации включает следующие этапы:

1. находят область допустимых решений задачи, определяемую соотношениями (15.2) и (15.3) (если она пуста, то задача имеет решения);

2. строят гиперповерхность (гиперповерхность – обобщение понятия поверхности n-го порядка, так гиперповерхность 2-го порядка – гиперплоскость);

3. определяют гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня или устанавливают неразрешимость задачи из-за неограниченности целевой функции сверху (снизу) на множестве допустимых решений;

4. находят точку области допустимых решений, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня, и определяют в ней значение целевой функции (15.1);

5. Описанный процесс нахождения решения ЗНП прост и нагляден для ряда задач, когда число неизвестных n равно 2 ( ).

Обратимся к примерам.

Пример 1. Обработка статических данных показала, что производственная функция, связывающая выпуск готовой продукции предприятия с затратами и , имеет вид

.

Затраты подчинены условиям:

Определить затраты предприятия, при которых выпуск продукции будет максимальным.

Решение. Составим ЭММ задачи:

при условиях

Найдем , область допустимых решений задачи.

Ее границами служат прямые , , , и гипербола или .

OABCD – область допустимых решений (см. рис. 15.1).

Рис. 15.1

Линии уровня целевой функции (гиперповерхности) имеют вид или и представляют собой семейство парабол с осью симметрии . С возрастанием параболы перемещаются по оси симметрии в направлении оси . Очевидно, что линии уровня покинут область допустимых решений задачи через точку C. Найдем ее координаты, решая систему уравнений

Имеем , .

Тогда .

Ответ: Максимальный выпуск продукции составляет ед. при затратах , .

Пример 2. На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 101 изделие некоторой продукции. Затраты, связанные с производством изделий на первом предприятии, равны единиц, а затраты, обусловленные изготовлением изделий на втором предприятии, составляют единиц. Определить сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленные изготовлением необходимой продукции, были минимальными.

Решение. Пусть и – количество изделий, которые нужно произвести на первом и втором предприятии.

Составим ЭММ задачи:

при условиях

Областью допустимых решений исходной задачи является отрезок прямой AB (см. рис. 15.2). Роль гиперповерхностей играют линии уровня

(15.4)

Преобразуем уравнение (15.4) к виду

или

(15.5)

Уравнение (15.5) описывает семейство эллипсов с центром в точке D  , большой полуосью и малой полуосью (см. рис. 15.2).

Рис. 15.2

Линии уровня с возрастанием приближаются к прямой AB. Очевидно, что целевая функция принимает минимальное значение в точке С, в которой линия уровня (15.5) касается прямой AB.

Найдем координаты точки С. Для этого воспользуемся равенством угловых коэффициентов эллипса (15.5) и прямой . В соотношении (15.4) положим, что – неявная функция от . Продифференцируем уравнение (15.4) по :

или

. (15.6)

С другой стороны, угловой коэффициент прямой , очевидно, равен –1.

Приравнивая правую часть соотношения (15.6) к –1, получим

или (15.7)

Присоединяя к (15.7) уравнение прямой, на которой лежит точка С, имеем систему уравнений

откуда , и .

Ответ: если предприятие изготовит 81 изделие I технологическим способом и 20 изделий II технологическим способом, то общие затраты будут минимальными и составят 8807 единиц.

Рассмотренные примеры показали, что в отличие от ЗЛП в ЗНП область допустимых решений задачи может быть невыпуклой (см. пример 1), и экстремум целевой функции может достигаться не в вершине многоугольника (см. пример 2).