8. Властивості бінарних відношень

Нехай – бінарне відношення на довільній множині ( ). Якщо для двох елементів , тобто знаходяться у відношенні , то це записують як . Якщо для двох елементів не виконується , то це записують як .

Бінарне відношення на довільній множині можна зобразити за допомогою графа – стрілкової схеми, вузли якої відповідають елементам множини , а дуга, спрямована від до показує, що виконується .

Означення. Відношення називається рефлексивним, якщо воно завжди виконується між елементом і ним самим. ( ).

Приклади.

1. Відношення нестрогої нерівності на множинах .

На графі рефлексивного відношення для кожного вузла існує стрілка, яка починається і закінчується в цьому вузлі .

Означення. Відношення називається антирефлексивным, якщо воно не виконується для будь-якого елемента. ( ).

Приклади.

1. Відношення строгої рівності на множинах .

2. Відношення „бути начальником”, „бути братом”, „бути молодшим” на множині людей.

Приклад відношення, яке не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним :

Відношення ”бути симетричним відносно осі ” не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним (точка є симетричною самій собі, якщо вона лежить на осі , і не є симетричною самій собі в протилежному випадку)

Означення. Відношення називається симетричним, якщо для будь-яких елементів при виконанні виконується . ( ).

Приклади:

1. Відношення рівності на множинах .

2. ”Бути симетричним відносно осі ”.

3. Відношення „бути братом” на множині людей.

На графі симетричного відношення для кожної стрілки, яка з’єднує два вузла існує також стрілка, яка з’єднує ці вузли у зворотному напрямку.

Означення. Відношення називається антисиметричним, якщо і виконуються одночасно тоді і тільки тоді, коли . ( )

Приклади:

1. Відношення нестрогої нерівності на множинах .

и .

На графі антисиметричного відношення існує хоча б одна пара вузлів, які зв’язані двома стрілками.

Зауваження. Властивості симетричності і антисиметричності не є взаємно виключними.

Означення. Відношення називається асиметричним, якщо для будь-яких елементів або або . ( )

Приклади.

1. Відношення строгого включення в множині всіх підмножин деякого універсуму.

2. Відношення „бути батьком” в множині людей.

Означення. Відношення називається транзитивним, якщо для будь-яких з і випливає . ( )

Приклади.

1. Відношення =, , «жити в одному місті».

2. Відношення ‘‘мати непорожній переріз’’ на системі множин не є транзитивним.

На графі транзитивного відношення для кожної пари стрілок, напрямлених від до і від до існує також стрілка, напрямлена від до .

9. Розбиття і відношення еквівалентності

При роботі з множинами, які містять велику кількість елементів часто буває зручно розбити їх на підмножини меншої потужності, щоб дослідити потрібні властивості. Розглянемо способи отримання таких розбиттів.

Означення. Покриттям непорожньої множини називається сукупність підмножин таких, що . Позначається (від cover – покривати).

Приклад. 1. – покриття множини .

2. – покриття множини .

Означення. Розбиттям непорожньої множини називається покриття, яке містить тільки такі підмножини, які не перерізаються Позначається (від break – розбивати).

= , якщо і

Приклад. 1. – розбиття множини .

2. – розбиття універсуму.

3. – розбиття універсуму.

Розбиття визначається однозначно, і частини розбиття породжують особливий вид відношень. Ці відношення поводять себе так, як відношення "=" між числами або множинами.

Означення. Відношення називається відношенням еквівалентності (позначається спеціальним символом ~ ) на множині , якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне, тобто:

1) ~ ;

2) ~ ~ ;

3) ~ і ~ ~ .

Приклади:

1. Відношення рівності на будь-якій множині.

2. Відношення подібності на множині плоских трикутників.

3. Відношення ‘‘мати ту саму остачу від ділення на 7’’ на множині .

4. Відношення паралельності на множині всіх прямих площини.

Означення. Класом еквівалентності елемента множини називається множина всіх елементів множини , які еквівалентні . Позначається .

~ }.

Приклад. Нехай – фіксоване натуральне число. Визначимо на множині цілих чисел відношення:

.

Для класи еквівалентності мають вид:

= ={11, 21, ..., -9, 10976631, ...};

= ={12, 22, ..., -8, 10976632, ...};

= ={66, 226, -24, ...}.

Має місце

Теорема. Сукупність всіх класів еквівалентності є розбиттям множини . Справедливе і обернене: Нехай – довільне розбиття множини і для будь-яких елементів задане бінарне відношення належать одному й тому ж класу розбиття. Тоді є відношенням еквівалентності.

Означення. Множина всіх класів еквівалентності деякої множини , утворених за відношенням еквівалентності ~, називається фактормножиною множини за даним відношенням еквівалентності. Позначається ~.

Фактормножина ~ визначає розбиття множини на підмножини, які попарно не перерізаються – на класи еквівалентності.