4. Властивості операцій над множинами

Операції над множинами, як і операції над числами, мають певні властивості. Ці властивості виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретного змісту множин, що входять у них, і є підмножинами деякого універсуму .

Для будь-яких підмножин деякого універсуму справедливі наступні тотожності:

1. – комутативність	1*. – комутативність
2. – асоціативність	2*. – асоціативність
3. – дистрибутивність відносно	3*. – дистрибутивність відносно
закони поглинання
4.	4*.
закони де Моргана
5.	5*.
6.
закони ідемпотентності
7.	7*.
властивості і
8.	8*.
9.	9*.
10. ,
11.
12.

5. Декартовий добуток множин

Введемо ще одну операцію над множинами.

Нехай і – довільні множини.

Означення. Впорядкованою парою називається пара елементів , , взятих в певному порядку.

Дві впорядковані пари вважаються рівними, якщо рівні їх відповідні компоненти:

.

Означення. Декартовим добутком двох множин і називається множина всіх впорядкованих пар :

.

Якщо , то кажуть про декартовий квадрат множини :

Аналогічно можна ввести декартовий добуток трьох , чотирьох і т.д. множин. При скорочено пишуть і кажуть про -й декартовий степінь множини . Елементами є послідовності (набори, вектори, рядки) довжини .

Приклади:

1. Нехай , , . Тоді

;

;

.

2. , – множини символів, які позначають горизонтальні і вертикальні поля шахівниці. Тоді – множина всіх кодів кліток шахівниці.

3. Нехай R – множина всіх дійсних чисел. Тоді декартовий квадрат є просто множина всіх декартових координат на площині відносно заданих координатних осей (– множина точок площини). Якщо , то – одиничний квадрат на площині.

4. – множина точок простору. Якщо , то – одиничний куб на площині.

5. – скінченна множина , елементами якої є символи (букви, цифри, розділові знаки і т.д.), тобто /– алфавіт. Елементи множини називаються словами довжини в алфавіті . Множина усіх слів в алфавіті є . При написанні слів (які за означенням є -ками) не прийнято користуватися ні комами, ні дужками як роздільниками, але вони можуть виявитися символами самого алфавіту. Тому слово в алфавіті – це просто скінчена послідовність символів алфавіту . Наприклад, десяткове ціле число – слово в алфавіті {0,1, …, 9}. Текст, надрукований на принтері є словом в алфавіті, обумовленому довжиною клавіатури (включаючи розділові знаки і пробіл).