2. Відношення між множинами. Діаграми Ейлера-Венна

В множині можуть бути виділені підмножини.

Означення. Множина називається підмножиною множини , якщо кожен елемент множини належить множині .

Це позначається як ( ) – « включається в » ( включає ), де – знак нестрогого включення. Кажуть, що множини і знаходяться у відношенні включення, а елементи множини до самої множини – у відношенні належності.

Наприклад: , , – підмножина .

Позначення: – « включається в А», – знак нестрогого включення.

Якщо и , то називається власною, строгою чи істинною підмножиною . Позначення: , де – знак строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини і .

і називаються невласними підмножинами множини .

Зауваження. Слід підкреслити відмінність між відношенням належності і відношенням включення . Як вже зазначалося, множина може бути своєю підмножиною , але не може входити до складу своїх елементів ( ). Навіть у разі одноелементної множини розрізняють саму множину та її єдиний елемент .

Означення. Множини і називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів.

Приклад. , .

Множини і рівні ( = ), якщо і :

і

Для кожної множини існує множина, елементами якої є всі її підмножини.

Означення. Множина, елементами якої є всі підмножини множини і тільки вони, називається булеаном або множиною підмножин множини і позначається . Відносно елементів булеана множина називається універсумом або універсальною множиною і часто позначається . (Тобто, універсальна множина – це множина, підмножинами якої є всі множини, що розглядаються,)

У разі скінченної підмножини , що складається з елементів, булеан містить елементів:

.

Легко побачити, що число елементів булеана залежить від числа елементів универсуму . Наприклад, якщо , то маємо .

Приклад. Розглянемо утворення булеана множини:

:

;

:

.

Перша й остання підмножини невласні, інші – власні.

Порожня множина має властивість: при будь-якому . Універсальна множина має властивість: при будь-якому .

Множини і відношення між ними зручно задавати графічно за допомогою так званих діаграм Ейлера-Венна. Діаграми Ейлера-Венна (Джон Венн (1834-1923) англійський логік і математик, професор Кембриджського університету) є геометричним зображенням множин. Множина зображується замкненою кривою довільної форми (найчастіше – кругом). Точки, які лежать всередині замкненої кривої, можна розглядати як елементи відповідної множини.

Наприклад:

Універсум на діаграмах Ейлера-Венна зображується у вигляді прямокутника.

Діаграму Ейлера-Венна можна розглядати як окремий випадок задання множини переліком його елементів. В цьому випадку всередині діаграми Ейлера-Венна можуть бути зображені символічні позначення елементів.

Наприклад: На наступній діаграмі Ейлера-Венна задані множини , в універсумі :

3. Основні операції над множинами

Означення. Об'єднанням двох множин і називається множина , яка складається з усіх їхніх елементів, що належать хоча б одній з множин , :

,

де – знак об’єднання.

На діаграмі Ейлера-Венна об’єднання показується штриховкою:

Об’єднання складається з усіх елементів множини , усіх елементів множини і не містить ніяких інших елементів.

Об’єднання називається також теоретико-множинною сумою.

Операція об’єднання узагальнюється на довільну сукупність множин.

У загальному випадку використовується позначення:

.

Приклади:

1. , , ;

2. , , ;

3. {парні числа}, {непарні числа }, .

Означення. Перерізом двох множин і називається множина , яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, що належать і , і В:

,

де – знак перерізу.

На діаграмі Ейлера-Венна переріз показується штриховкою:

Переріз називається також теоретико-множинним добутком.

Операція перерізу узагальнюється на довільну сукупність множин.

У загальному випадку використовується позначення:

.

Приклади:

1. , , ;

2. , , ;

3. , ,

4. {прямокутники}, {ромби}, {квадрати}.

Означення. Різницею множин і називається множина , яка складається з усіх тих елементів множини , які не належать :

,

де – знак різниці.

Приклади:

1. , , , ;

2. , , ;

3. , {непарні числа}, {парні числа}.

В означенні різниці, взагалі кажучи, не припускається, що . Якщо , то різниця називається доповненням множини В до множини і позначається .

Проілюструємо поняття різниці множин за допомогою діаграм Ейлера-Венна:

Означення. Різниця універсальної множини і будь-якої її підмножини А називається доповненням множини до універсальної . Позначається .

Геометрична ілюстрація:

Означення. Симетричною різницею множин і називається різниця об’єднання і перерізу множин і (виключне "АБО"), яка позначається .

,

де

Приклади:

1. , ,

.

Геометрична ілюстрація:

Використовуючи операції ∩¸ ¸ \¸ можна виражати одні множини через інші. За умовчанням приймається пріоритет операцій: . Для зміни цього порядку у виразі використовують дужки.

Таким чином, множину можна задати виразом, в який входять множини, операції і, може бути, дужки. Такий спосіб завдання множини називається аналітичним.

Приклад. Нехай ; ; ; .

;

;