Лекція № 1 Тема: Елементи теорії множин і відношень
План лекції:
0. Зміст та задачі дискретної математики.
1. Поняття множини. Способи задання множини.
2. Відношення між множинами. Діаграми Ейлера-Венна.
3. Основні операції над множинами.
4. Властивості операцій над множинами.
5. Декартовий добуток множин.
6. Основні поняття теорії відношень.
7. Графічне представлення відношень.
8. Властивості бінарних відношень.
9. Розбиття і відношення еквівалентності.
10. Відношення порядку.
Література:
Бардачов Ю.М. та ін. Дискретна математика. – К.: Вища школа, 2002. – 287с. – с. 14-21; 81-106.
0. Зміст та задачі дискретної математики
Обмін інформацією в комп’ютерних мережах здійснюється за допомогою сигналів, які за своїм видом можуть бути аналоговими (неперервними) і дискретними. Дискретні сигнали меншою мірою підлягають спотворенням під впливом перешкод, їх простіше зберігати і обробляти. Дискретні сигнали можуть бути отримані дискретизацією неперервних сигналів або подані у вигляді кодових комбінацій – слів. Останнє подання є найбільш поширеним і універсальним. Воно застосовується для кодування людської мови, у математиці, цифровій електроніці. Способи побудови та ефективного опрацювання послідовностей об’єктів дискретного характеру дає дискретна математика.
Дискретна
математика (скінчена математика)
– розділ
математики, що вивчає властивості
об’єктів дискретного характеру.
Під дискретними об’єктами в математиці
розуміють ті, які в сукупності утворюють
скінченну або зчисленну множину.
Дискретні об’єкти принципово відрізняються
від неперервних (таких, наприклад, як
всі дійсні числа з відрізку
).
Функції, що є відповідностями між неперервними множинами, можуть бути задані так, щоб забезпечувалася можливість виконання операції диференціювання, на основі якої побудовані великі розділи класичної математики. Для дискретних функцій, що є відповідностями між дискретними множинами, операція диференціювання в її звичайному розумінні (тобто, операція, яка потребує переходу до границі) неможлива. Отже, основною особливістю дискретної математика є відсутність граничного переходу і неперервності, притаманних класичній математиці.
Дискретна математика вивчає властивості різноманітних дискретних множин і побудованих на їх основі відношень, функцій, операторів.
Основними задачами дискретної математики є:
з'ясування того, які властивості мають ті чи інші дискретні об’єкти разом з заданими на них функціями, операціями, відношеннями (аналіз);
побудова дискретних об’єктів, які задовольняють заданим властивостям (синтез).
Дискретна математика зародилася в давні часи. Як каже сама назва, головною її специфікою є дискретність, тобто відсутність неперервності. У більш як двотисячорічній історії дискретної математики сучасний період є одним з найінтенсивніших періодів її розвитку. Ще порівняно недавно ця наука була сферою інтересів лише вузького кола фахівців, а тепер вона перетворилася на дуже важливу і потрібну для багатьох наукову дисципліну.
Сьогодні дискретна математика є важливою ланкою математичної освіти, вона є фундаментом для вивчення практично всіх спеціальних курсів, які читаються в технічних вузах. Дискретна математика включає такі вже сформовані розділи математики, як теорію множин, математичну логіку, теорію алгебраїчних систем, комбінаторику і нові розділи, які найбільш інтенсивно стали розвиватися в середині XX сторіччя в зв'язку з науково-технічним прогресом і масовим використанням ЕОМ: теорію графів, теорію алгоритмів, теорію кодування, теорію скінчених автоматів та ін.