27. Поиск решений в условиях неопределенности. Вероятностная байесовская логика.

Управление нечеткостью является одним из наиболее важных вопросов при разработке систем искусственного интеллекта (СИИ). Это обуславливается тем, что большая часть информации в базе знаний прикладной СИИ является нечеткой, неполной или не полностью надежной. На первых этапах развития СИИ путь к решению этого вопроса обычно заключался во вложении вероятностных методов в двухзначную логику предикатов. В последнее десятилетие все большее внимание уделяется подходу, основанному на теории нечетких множеств, предложенному Заде, главная идея которого заключается в использовании для моделирования рассуждений нечеткой логики. Особенность нечеткой логики состоит в том, что она соединяет черты логики предикатов и теории вероятностей в единой общей модели, которая в качестве частных случаев включает в себя большую часть типов приближенных рассуждений.

Типы, источники и причины возникновения неопределенной информации в таких системах довольно разработаны. Первый тип неопределенности связан с надежностью информации – неопределенность может присутствовать в фактическом знании. Второй тип обусловлен неточностью языка представления правил, так как если правило не выражено на формальном языке, его значение не может быть выражено точно. Третий тип неопределенности возникает, когда вывод основан на неполной информации. Четвертый тип неопределенности появляется при агрегации правил, полученных из различных источников или от различных экспертов.

Среди предложенных в последнее время подходов, так или иначе учитывающих эти типы неопределенности, особое место занимают три подхода:

1. вероятностный вывод;

2. подход, основанный на теории свидетельств;

3. подход теории возможностей.

1. Вероятностный подход при работе с неопределенностью

Вероятностная логика – логика, в которой высказываниям приписываются не исключительно значения истины и лжи как в двузначной логике, но непрерывная шкала значений истинности от 0 до 1, так что, ноль соответствует невозможному событию, единица — практически достоверному. Значения истинности в вероятностной логике называются вероятностями истинности высказываний, степенями правдоподобия или подтверждения.

Байесовская вероятность — это интерпретация понятия вероятности, используемое в байесовской теории. Вероятность определяется как степень уверенности в истинности суждения. Для определения степени уверенности в истинности суждения при получении новой информации в байесовской теории используется теорема Байеса.

Теорема Байеса — одна из основных теорем теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны.

, где

 — априорная вероятность гипотезы A;

 — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

 — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

 — вероятность наступления события B.

2. Подход, основанный на теории свидетельств

Теория Демпстера-Шафера — математическая теория очевидностей (свидетельств), основанная на функции доверия  и функции правдоподобия, которые используются, чтобы скомбинировать отдельные части информации (свидетельства) для вычисления вероятности события. Теория была развита Артуром П. Демпстером и Гленном Шафером.

Пример:

Первая игра — подбрасывание монеты, где ставки делаются на то, выпадет орел или решка. Теперь представим вторую игру, в которой ставки принимаются на исход боя между лучшим в мире боксёром и лучшим в мире борцом. Предположим, мы несведущи в боевых искусствах, и нам весьма трудно определиться на кого ставить.

Многие люди будут менее уверены в ситуации второй игры, в которой вероятности неизвестны, чем в первой игре, где легко увидеть, что вероятность каждого исхода равна половине. В случае второй игры, Байесовская теория присвоит каждому исходу половинную вероятность, вне зависимости от информации, делающей один из исходов более вероятным, чем другой. Теория Демпстера-Шафера позволяет определить степень уверенности, которую имеет игрок, относительно вероятностей присвоенных различным исходам.

Теория Демстера – Шеффера позволяет выразить фундаментальное отличие между частичной уверенностью и полным незнанием. Этим она отличается от теории вероятности (в частности от байесовских вероятностей), где вероятность истинности гипотезы может оставаться без изменения, несмотря на собранные доказательства.

Шаферовский подход позволяет интерпретировать доверие и правдоподобие как границы интервала возможного значения истинности гипотезы:

доверие ≤ какая-то мера истинности ≤ правдоподобие.

Полагается, что:

Доверие к гипотезе = {сумма масс свидетельств, однозначно поддерживающих гипотезу}.

Правдоподобие = 1 − {сумма масс всех свидетельств, противоречащих гипотезе}.