26. Нечеткая и лингвистическая переменные. Операции с нечеткими множествами.

Под нечётким множеством   понимается совокупность

,

где   — универсальное множество, а   — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента   нечёткому множеству  .

Функция   принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве  . Множество   называют множеством принадлежностей, часто в качестве  выбирается отрезок  .

-----

Нечеткое множество - это множество пар <m(x)/x>, где x принимает некоторое информативное значение, а m(x) отображает x в единичный отрезок, принимая значения от 0 до 1. При этом m(x) представляет собой степень принадлежности x к чему-либо (0 - не принадлежит, 1 - принадлежит на все 100%). Так, на пример, можно задать для числа 7 множеств <0/1>,<0.4/3>,<1/7>. Это множество говорит о том, что 7 - это на 0% единица, на 40% тройка и на 100% семерка.

-----

Операции над нечеткими множествами

При 

Самыми важными являются операции объединения и пересечения.

Объединением нечётких множеств   и   называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее элементы   или  :

Пересечением нечётких множеств   и   называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в   и  :

Пример:

Отрицанием (дополнением) множества   называется множество   с функцией принадлежности:

для каждого  .

Произведением нечётких множеств   и   называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Суммой нечётких множеств   и   называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Нечеткая и лингвистическая переменные

Нечеткая переменная определяется как <a,X,A>.

a - наименование переменной,

X - область определения переменной, набор возможных значений x,

A - нечеткое множество, описывающее ограничения на возможные значения переменной A (семантику).

Пример: <"Семь",{1,3,7},{<0/1>,<0.4/3>,<1/7>}>.

Этой записью мы определили соответствия между словом и некоторыми цифрами. Причем, как в названии переменной, так и в значениях x можно было использовать любые записи, несущие какую-либо информацию.

Еще пример:

а - «Высокий рост»;

X - множество натуральных чисел N;

A - {150/0 + 160/0.1 + 170/ 0.2 + 180/0.5 + 190/0.7 + 200/0.9 + 210/1} (табличное представление)

Параметр A может быть задан различными способами: табличным, графическим, аналитическим.

Лингвистическая переменная – в теории нечётких множеств, переменная, которая может принимать значения фраз из естественного или искусственного языка.

Например, лингвистическая переменная «скорость» может иметь значения «высокая», «средняя», «очень низкая» и т. д. Фразы, значение которых принимает переменная, в свою очередь являются именами нечетких переменных и описываются нечетким множеством.

Лингвистическая переменная определяется как <x,T,X,G,M>.

x - наименование переменной.

T (x) - множество её значений (базовое терм-множество), состоит из наименований нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X.

G - синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности - генерировать новые осмысленные термы. T`=T U G(T) задает расширенное терм-множество (U - знак объединения).

M - семантическая процедура, позволяющая приписать каждому новому значению лингвистической переменной нечеткую семантику, путем формирования нового нечеткого множества.

Рассмотрим лингвистическую переменную, описывающую возраст человека, тогда:

: «возраст»;

X: множество целых чисел из интервала [0, 120];

T (x): значения «молодой», «зрелый», «старый». множество T(x) - множество нечетких переменных, для каждого значения: «молодой», «зрелый», «старый», необходимо задатьфункцию принадлежности, которая задает информацию о том, людей какого возраста считать молодыми, зрелыми, старыми;

G: «очень», «не очень». Такие добавки позволяют образовывать новые значения: «очень молодой», «не очень старый» и пр.

M: математическое правило, определяющее вид функции принадлежности для каждого значения образованного при помощи правила  .

Нечеткое множество (или нечеткое число), описывает некотоpые понятия в фyнкциональном виде, т. е. такие понятия как "пpимеpно pавно 5", "скоpость чyть больше 300 км/ч" и т. д., как видно эти понятия невозможно пpедставить одним числом, хотя в pеальности люди очень часто пользyются ими.

Hечеткая пеpеменная это тоже самое, что и нечеткое число, только с добавлением имени, котоpым фоpмализyется понятие описуемое этим числом.

Лингвистическая пеpеменная это множество нечетких пеpеменных, она использyется для того чтобы дать словесное описание некотоpомy нечеткомy числy, полyченномy в pезyльтате некотоpых опеpаций. Т. е. пyтем некотоpых опеpаций подбиpается ближайшее по значению из лингвистической пеpеменной.