21. Первый и второй замечательный предел.

Первый и второй замечательный предел используют для раскрытия неопределенностей, содержащих тригонометрические функции

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел.

22. Эквивалентность бесконечно малых функций

Бесконечно малые функцииα(x) иβ(x) называются эквивалентными при x a, если . Если α(х) – бесконечно малая функция, то справедливы основные эквивалентности: sinα(x)~α(x); tgα(x)~α(x);arcsinα(x)~ α(x); arctgα(x)~α(x); e^α(x) ~α(x); ln(1+α(x))~α(x); a^α(x) ~α(x)*lnα; . При вычислении пределов используются следующие теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях: Т1) Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения функций, им эквивалентных, Т2) Сумма нескольких бесконечно малых функций различных порядков малости эквивалентна слагаемому низшего порядка малости.

23.Непрерывность функции и классификация точек разрыва

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке , если она определена некоторой окрестностью этой точки и предел . Cгеометрической точки зрения непрерывность функции означает, что график функции не имеет «разрывов»

Точки разрыва можно разбить на 2 класса: а)1-го рода, для которых и существуют, но не равны f(x₀); б) 2-го рода, для которых хотя бы один из пределов или не существует или бесконечен.

24. Производная

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, если переменная х получит приращение ∆х, то переменная у получит приращение ∆у=∆у(х0)= ∆f(х0)=f(х0+∆х)-f(х0)

Опр.1 Производной функции у=f(x) в т. х0 называется =

Производная функции f(x) в т. х обознач. у’=у’(x)=f’(x)= df/dx=dy/dx

При каждом конкретном значении х производная (если она сущ.) представляет собой некоторое число, таким образом конечному знач. х ставится в соотв. f’(x). Полученая функция как бы произведена от f(x). Этим объясняется понятие производной.

Операция нахождения производной назыв. дифференцированием.

Пусть кривая l является гр. функц. у=f(x) и точка М0(х0;f(x0))принадл. L. Рассмотрим некоторую секущую М0М

Угловой коэффициент секущей tgɸ=∆y/∆x, если т. М движ. По кривой в т. М0, то сек. М0М стемится к некоторому предельному положению наз.касательной, угловой коэф. Которой К= = =y’(x0).

Таким образом геометрич. смысл произв. следующий: производная ф. в т. х0 ровна угл. Коэф. Косательной и гр. функции у=f(x) в т. х0: y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)

Cмеханич. Точки зрения произв. ф. представляет собой мгновенную скорость процесса. Например произв. пути по времени- скорость, произвскороти- ускорение.

Опр 2: Функция y=f(x) назыв. дифференцируемой в т. х0, если она имеет в т х0 конечную произв.

Функция назыв. Дифференцируемой, если она дифф. В каждой точке интервала.

Т1: Если функция f(x) диффер в т. х0 то она в этой точке непрерывна.

Док-во: = = * =f’(x0)*0

Замечание: Утверждение обратное т1 не имеет места. Например у= непрерывна в т. х=0, но не фифференцируема или ф. у= непрерывна в т. х=0, но не дифф. В ней.