9.Миноры и алгебраические дополнения.
Опр.1
Минорами
элемента
квадратные
матрицы А называется определитель
матрицы получ. из матрицы А вычеркиванием
i-той
строки и j-того
столбца, обозначается
.Алгебраическим
дополнением элемент.
назыв. число
С
учетом опр. 1
Теорема 1
Определитель
квадратной матрицы n-го
порядка = сумме произв.какой-либо
строки(столбца) на их алгебр.дополнений:
Доказательство: докажем для строк (для столбцов аналогично).Если i=1, то справедливость теоремы следует из определения детерминанта и алгебраич.дополнений.
Пусть
i
,
переставив i-тую
строку на 1 место и обозначив
миноры
элементы i-той
строки матрицы А.
миноры
элемент.1 строки получ.матрицы.Тогда
- определитель матрицы А равен:
Представл.опред.матрицы как в теор.1 назыв.разложением по строке(столбцу).
Теорема 2
Сумма произведений элементов какой-либо строки определителяn–го порядка на алгебраические дополнения элементов другой его строки равна нулю, т. е.
,при
i,
j =
1,
2,
. . . , n и
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную матрицу:
Заметим
что алгебр.дополнения элементов j-той
строки матриц
=
равны.
Разложим
определитель матрицы В по элементам j
строки:
10.Линейные операции над векторами.
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Векторы
называются коллинеарными,
если они расположены на одной или
параллельных прямых. Нулевой вектор
коллинеарен любому вектору.
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Линейными операциями над векторами называется сложение,вычитание и умножение на число.
Суммой
векторов является вектор -
.Суммой
неск-их векторов
и в
наз. соединяющий начало 1-го и конец
последнего вектора.
Разностью
векторов
и
наз-ся вектор c,
который, будучи сложенным с вектором
даст вектор
.
Произведение
вектора
на число λ=R
называется вектор, обазначаемый λ
,
модуль которого равен 
,
а направление совпадает с направление
вектора
,
если λ
,
и противоположно ему, если λ
.
Вектор сонаправлен с вектором ( ), если > 0.
Вектор противоположно направлен с вектором ( ), если < 0.
Свойства векторов.
1) + = + - коммутативность.
2)
+ (
+
)
= (
+
)+
3)
+
=
4) +(-1) =
5) () = ( ) – ассоциативность
6) (+) = + - дистрибутивность
7) ( + ) = +
8) 1 =
11.Линейное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространства.
Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов 3-мерного пространства
Линейная зависимость векторов.
Векторы
называются линейно
зависимыми,
если существует такая линейная комбинация
,
при не равных нулю одновременно i
, т.е.
.
Если же только при i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.
Свойства:
Если
среди векторов
есть нулевой вектор, то эти векторы
линейно зависимы.
Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Любые 4 вектора линейно зависимы.
Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.