1.Матрицы. Сложение матриц и умножение на число.Их свойства.

Пусть m,n- целые полож. числа и M- непустое множество элементов любой природы. Матрицей размеров m*n над М или m*n –матрицей над M называется прям. таблица,составленная из mn элементов множества М и содержащая m строк и n столбцов.

Пусть A=(а_i,j)_m*n и B=(b_i,j)_m*n две матрицы одинаковой размерности, сумма матриц A и B, называется матрица такой же размерности, у которой каждый элемент равен сумме элементов A и B.

Произведение матрицы A=(а_i,j)_m*n на число С( С€ R),называется m*n – матрица такой же размерности, у которой каждый элемент равен произведению соотв. элемента матрицы A на число С.

1. A+B=B+A(коммунативность сложения)

2. (A+B)+C=A+(B+C)(ассоциативность)

3. A+0=A

4. A+(-A)=0

5. α(A+B)=αA+αB

6. (α+β)A=αA+βB

7. (αβ)A=α(βA)

8. 1*A=A

2.Определители 2-ого, 3-его, 1-ого порядка.

Определитель 1-ого, если то матрица состоит из одного элемента , и определитель,соответствующий такой матрице, равен этому элементу:

Определитель 2 – ого порядка, соответствующий матрице, равен разности произведения элементов, расположенных на главной диагонали, и произведения элементов, расположенных на побочной диагонали:

Определитель 3-его порядка:

3.Опредетели n-ого порядка.

Определители n-го порядка. Пусть n- натуральное число, n 1 и пусть определители квадратных матриц 1,2,…, n-1 уже введены. Определителем или детерминантом квадратной матрицы порядка n наз. число detA= (-1)¹⁺¹ *a₁₁*M₁₁+(-1)¹⁺² *a₁₂*M₁₂+…+ (-1)^1+j*a_1j*M_1j+…+ (-1)¹⁺ⁿ*a_1n*M_1n где M_1j-определитель матрицы полученной из матриц А вычеркиванием 1-й строки и j-го столбца, j=1,2…,n.

4.Обратная матрица.Критерии её сущ-ния. Обратная матрица. Пусть А кв. матрица n-го порядка. Матрица В наз. Обратной матрице А, если в произведении получается единица А*В=В*А=Е. Обратную матрицу можно обозначить А^-1 , таким образом А* А^-1= А^-1*А=Е. Квадратная матрица А наз. невырожденной , если detA≠0. Если detA=0, то матрица наз. невырожденной. Теорема. Если кв. матрица А имеет обратную, то А- невырожденная матрица. Обратно, если А- невырожденная матрица, тоА обладает обратной матрицей, причем А^-1= *A^*где, A^*- присоединенная матрица, т.е. матрица ,составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А и про транспонированная.

5.Ранг матрицы.Элементарные преобразования матриц.Нахождения ранга с их помощью Ранг матрицы. Пусть матрица размера . Если в этой матрице выбрать произвольно строк и столбцов , то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k - го порядка матрицы А.Натуральное число называется рангом матрицы А, если нее имеется минор порядка r , отличный от нуля, а все миноры порядка r+1 равны нулю.

Если ранг матрицы равен r, то всякий минор порядка r, отличный от нуля, называют базисным минором.

Имеет место следующая теорема:

Если в матрице А имеется минор -порядка r, отличный от нуля, а всякий минор порядка r+1, включающий все элементы минора (окаймляющий минор), равен нулю, то ранг матрицыА равен r .

При вычислении ранга матрицы находим некоторый минор k-го порядка, отличный от нуля. Затем вычисляем только миноры порядка k+1, окаймляющие этот минор; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Практически этот способ нахождения ранга матрицы весьма трудоемок. Укажем еще один способ вычисления ранга матрицы, основанный на применении так называемых элементарных преобразований матрицы

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1) Умножение всех элементов строки на одно и то же число;

2) Перестановка двух строк;

3) Вычеркивание одной из двух пропорциональных строк;

4) Вычеркивание строки, состоящей из одних нулей;

5)Прибавление ко всем элементам какой-либо строки соответствующих элементов другой, умноженных на одно и то же постоянное число;

6) Те же операции со столбцами.

Справедлива следующая теорема:

Ранг матрицы не меняется в результате элементарных преобразований, примененных к матрице.

Любую матрицу можно элементарными преобразованиями привести к диагональной форме. Тогда ранг матрицы равен числу отличных от нуля элементов диагонали.