Тема 4.7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная и дифференциал.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Из этого следует, что в этой точке бесконечно малому прира­щению аргу­мента x соответствует беско­нечно малое приращение функцииf.

О. Производной функции y=f(x) по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции f =f(x+x) – f(x). к приращению аргумента x , при стремлении x  к 0:

Отношение f /x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла , который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Пусть x стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет приближаться к касательной к графику функции, при этом её угол наклона  будет стремиться к углу  наклона касательной к кривой в точке x. Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке х.

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x₀, но не иметь в этой точке производной.

Так функция y = x  не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Таблица производных основных элементарных функций.

Таблица производных.

1. (xⁿ)'=nx^n-1 2. (a^x)'=a^xlna 3. (e^x)'=e^x

4. (log_ax)'=5. (lnx)'=6. (sinx)'=cosx

7. (cosx)'=-sinx 8. (tgx)'=9.(ctgx)'=-

10. (arcsinx)'=11. (arccosx)'=-

12. (arctgx)'=13. (arcctgx)'=-14.(х) '=1

Свойства операции дифференцирования.

1. (с)'=0, c-const 2. (f(x)+g(x)-r(x))'=f '(x)+g '(x)-r '(x)

3. (f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+g '(x)f(x), 4. (cf(x))'=c(f '(x))

5. .

Пример. Найти производную функции y=x³.

Воспользуемся первой формулой в таблице, где n=3, и получим

y=3x^3-1=3x².

Пример. Найти производную функции y= y=

Для того чтобы воспользоваться формулой преобразуем функцию к табличному виду:

. Тогда ;;

Пример. Найти производную функции y=sinx+e^x.

Применим правила дифференцирования к сумме двух табличных функций:

у =(sinx)+(e^x)=cosx+e^x.

Пример.y=5^x-x⁵

y=5^xlnx-5x⁴

Пример. Найти производную функции y=lnxtgx.

По правилу дифференцирования произведения функции получим:

у =( lnx)tgx+ lnx(tgx)=

Пример. Найти производную функции y=.

Теорема о производной сложной функции.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

Пример. Найти производную функции y=(3x⁵+2)⁶.

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим 3x⁵+2=t, тогда у=t⁶. Получаем

у =(t⁶)_t(3x⁵+2)_x=6t⁵(35x⁴+0)=6(3x⁵+2)⁵15x⁴=90x⁴(3x⁵+2)⁵.

Пример. Найти производную функции y=sin⁵x.

Рассуждая аналогично предыдущему примеру, обозначим sinx=t. Тогда получим степенную функцию y=t⁴. Берем производную сначала от степени функции, затем от основной функции:

у =5t⁴(sinx)= 5t⁴cosx=5sin⁴xcosx.

В дальнейшем для упрощения решения примеров, особые обозначения промежуточных результатов будем опускать.

Пример. Найти производную функции y=cosx⁴.

у =-sinx⁴4x³=-4x³ sinx⁴.

Пример. Найти производную функции y=arcsin.

Нужно обратить внимание на то, что в производной функции y=arcsinx в качестве аргумента используется . Поэтому производная имеет выше указанный вид. Типичной ошибкой студентов является следующий вид решения:

Пример. Найти производную функции y=ln³tg(e^-x).