33. Квадратичные формы: определение и примеры. Матрица квадратичной формы.

Определение 4. Пусть h –симметрическая билинейная функция над полем K характеристики, не равной 2. Функция q: V –> K, определяемая по формуле q(x) = h(x,x), называется квадратичной функцией (или квадратичной формой), ассоциированной с функцией h.

В координатах квадратичная функция записывается в виде

т.е является однородным многочленом второй степени.

Симметрическая билинейная функция h может быть восстановлена по соответствующей квадратичной функции q по формуле h(x,y) = 1/2[q(x+y) – q(x) – q(y)]. (5)

Билинейная функция h называется поляризацией квадратичной функции q.

Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между симметрическими билинейными и квадратичными функциями. Имея в виду это соответствие, все понятия, относящиеся к симметрическим билинейным функциям (матрица, ранг, невырожденность) переносят на квадратичные функции.

34. Ортогональные подпространства и их свойства.

Пусть h–симметрическая или кососимметрич. билинейная ф-ция над полем K характеристики, не равной 2. Векторы x и y из V наз. ортогональными (отн h), если h(x,y) = 0; в этом случае пишут Ясно, что отношение ортогональности симметрично: В случае кососимметрич. ф-ии h каждый вектор ортогонален самому себе. Опр 5. Ортогональным дополнением к подпр-ву U (отн. h) наз. подпространство В частности, Предл 1. Если функция h невырожденна, то Д о к -в о. Пусть {e₁,e₂,…,e_k} – базис пространства U. Тогда Записывая эти условия в координатах, мы получаем систему однородных линейных уравнений. Эти уравнения линейно независимы, так как для любых t₁,…,t_k, не равных нулю одновременно, линейная функция

Следовательно, По той же формуле

Опр 6. Подпр-во U наз. невырожденным отн. ф-ции h, если ее ограничение на U невырожденно.

П усть h – симметрич. билинейная ф-ция. Базис {e₁,…,e_n} –базис пр-ва V наз. ортогональным (отн. h),если его векторы попарно ортогональны. В ортогональном базисе матр. ф-ции h диагональна, а сама ф-ция h и соответствующая ей кв. ф-ция q запис. в виде Т 1. Для ∀ симметрической бил. ф-ции сущ. ортогональный базис. Док -во. Докажем это утвержд. индукцией по n=dimV. При n=1 доказывать нечего. Если h = 0, то доказывать опять-таки нечего. Т1. Для ∀ симметрич. билинейной ф-ции сущ. ортогональный базис. Док. Если h не равна 0, то в силу формулы h(x,y) = 1/2[q(x+y) – q(x) – q(y)] (5) q не равна 0, т.е. сущ. такой вектор e₁, что число h(e₁,e₁)=q(e₁) не равно нулю. Согл. предл. 2, Т 1. Для ∀ симметрич. билинейной ф-ции сущ. ортогон. базис. Док -во. По предполож. индукции сущ. ортогональный базис

35. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Пусть {e₁,…,e_n} – базис пространства V и А – матрица функции h в этом базисе. Обозначим через А_k матрицу ограничения функции h на подпространство V_k = <e₁,…,e_k> в базисе {e₁,…,e_k} этого подпространства, т.е. левый верхний угол порядка k матрицы A. Число d_k = det А_k будем называть угловым минором порядка k матрицы A. Положим также V₀ = 0, d₀ = 1. Теорема Если все угловые миноры d₁,…,d_n матрицы A отличны от нуля, то существует единственный ортогональный базис {f₁,…,f_n} пространства V, удовлетворяющий условиям _{При этом} Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему индукцией по n. При n=1 имеем При n>1 применим предположение индукции к базису {e₁,…,e_n-1} пространства V_n-1. Пусть {f₁,…,f_n-1} – ортогональный базис пр- ва V_n-1, удовл. усл. теоремы. Будем искать вектор f_n в виде

Остается проверить равенство (10) при k=n. Так как матрица перехода от базиса {e₁,…,e_n} к базису {f₁,…,f_n} явл. (верхней) унитреуг. (т.е. треуг. с единицами на диагонали), то ее определитель равен 1 и формула показывает, что определитель матрицы функции h не меняется при переходе к базису {f₁,…,f_n}. Однако в базисе {f₁,…,f_n} матрица функции h диагональна, причем ее диаг. элементы равны q(f₁), …, q(f_n-1), q(f_n). Следовательно, d_n = q(f₁)…q(f_n-1)q(f_n). Такое же рассуждение, примененное к ограничению функции h на подпр-во V_n-1 показывает, что d_n-1 = q(f₁)…q(f_n-1). Откуда следует, что Процесс построения ортогонального базиса, описанный в доказательстве теоремы, наз. процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Пусть {e₁,…,e_n} – базис пространства V, ортогональный относительно функции h. За счет нормировки векторов e_i числа a_i = q(e_i) можно умножать на квадраты любых ненулевых элементов поля K. Кроме того, переставляя базисные векторы, можно переставлять и эти числа. Однако, как видно из доказательства теоремы 1, в выборе ортогонального базиса имеется гораздо больший произвол. Пусть K = C. Тогда путем нормировки базисных векторов числа a_i могут быть сделаны равными 1 или 0, и после подходящей перестановки базисных векторов ф-ция h приводится к так называемому нормальному виду: q(x) = x₁² + … + x_r².Число r явл. инвариантом, т. к. r = rk q. Пусть K = R. Тогда путем нормировки базисных векторов числа a_i могут быть сделаны равными +1, –1 или 0, и после подходящей перестановки базисных векторов ф-ция h приводится к нормальному виду:q(x) = x₁² + … + x_k² – x_k+1² – … – x_k+l² (11) Сумма k + l = rk q является инвариантом, но являются ли инвариантами числа k и l по отдельности?