29.Определение и примеры линейных форм.

Определение 1. Линейной функцией (или линейной формой) на векторном пространстве V называется всякая функция h: V —>К, обладающая свойствами

1)h(х + у) = h(х) + h(у);

2)h(λx) = λh(х).

Иными словами, линейная функция — это линейное отображение пространства V в поле К, рассматриваемое как (одномерное) векторное пространство.

Пример 1. Как доказывается в курсе элементарной геометрии, функция h(x) = (h,х) (h Е³) является линейной функцией на пространстве Е³.

ПРИМЕР 2. Функция h(f) =f(x₀) (x₀€X) является линейной функцией на пространстве F(X, К) функций на множестве X со значениями в К

ПРИМЕР 3. Функция h(f) = f'(x₀) (x₀€R) является линейной функцией на пространстве С¹(R) дифференцируемых функций на вещественной прямой.

ПРИМЕР 4. Функция h(f) = является линейной функ-

цией на пространстве С[а, Ь] непрерывных функций на отрезке [а,b].

Пример 5. Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов. След матрицы X обозначается через tr X. Функция h(Х) = trX является линейной функцией на простран­стве L_n(K) квадратных матриц.

Если х_х,...,х_п — координаты вектора х в базисе {е_х, ..е_п}, то

h(х) = h₁x₁+…+h_nx_n.

где a_i = h(е_;). Таким образом, линейная функция однозначно опре­деляется своими значениями на базисных векторах, называемыми ее коэффициентами в данном базисе. Коэффициенты могут быть произвольными: для любых a₁,,..., а_п К функция h, определяемая формулой (2), является линейной.

30.Сопряжённые пространства и их свойства.

Определение 2. Пространство линейных функций на V назы­вается сопряженным пространством по отношению к V и обозначается через V*.

Пусть {е₁,..., е_п} — базис пространства V. Линейные функции έ₁,…, έ_n V*, определяемые равенствами έ_i(x)=x_i называются координатными функциями относительно базиса {е₁,.., е_n}. Они составляют базис пространства V*, который называется со­пряженным базисом по отношению к {е₁,.., е_n}. Из его опреде­ления следует, что для любого вектора х € V

х = _i(x)e_i .

Сопряженный базис может быть также определен условиями

έ_i(e_j)=δ_ij (символ Кронекера).

Из предыдущего следует, что dim V* = dim V, так что пространства

V и V* изоморфны, хотя между ними и не существует ника­кого естественного (выделенного) изоморфизма. Однако второе сопряженное пространство V** = (V*)* оказывается естественно изоморфным пространству V.

Из определения операций в пространстве V* следует, что для любого вектора х V функция f_х на V*, определенная по формуле

f_x(a) = a(x) является линейной.

Теорема 1. Отображение х -> f_х является изоморфизмом пространства V на пространство V**.Доказательство. Из определения линейных функций сле­дует, что f_{x + y} = f_x + f_y и f_ƛx = ƛf_x. Остается проверить, что отобра­жение х-> f_x биективно. Пусть {е₁,..е_п} — базис пространства V

и {έ₁,..., έ _п} — сопряженный базис пространства V*. Тогда

fe_i(έ_j)= έ_j(e_i)= δ_ij,так что {f_e1,…, f_en } — базис пространства V**, сопряженный ба­зису {έ₁,..., έ _п} . Отображение

х -> f_x переводит вектор с коорди­натами x₁,..х_п в базисе {е₁,..,е_n} пространства V в вектор с такими же координатами в базисе {f_e1,…, f_en } пространства V**.

Следовательно, оно биективно. □

В дальнейшем мы будем отождествлять пространства V и V** посредством указанного изоморфизма, т.е. рассматривать каждый вектор х € V одновременно и как линейную функцию на V* (и писать х(а) вместо f_x(a)). При таком соглашении пространства V и V* будут играть совершенно симметричную роль.

Следствие. Всякий базис пространства V* сопряжен неко­торому базису пространства V.