13 Теорема Кронекера – Капелли.

Теорема 6.

1) (Теорема Кронекера — Капелли.) Система ли­нейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы ее коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

2) Совместная система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда ранг матрицы ее коэффициентов равен числу неизвестных.

Док-во:1)Достаточно рассматривать сис-тему лин. урн-ний расширенной матрицы которая явл. ступенчатая. Такая система не совместна тогда и только тогда, когда ведущий элемент последней ненулевой строки расширенной матрицы стоит в последнем столбце, а это имеет место тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов не равен рангу расширенной матрицы.

2)Совместная система с расшир. ступенч. матр. явл. определенной тогда и только тогда, когда число ненулевых строк этой ступенчатой матрицы равно числу неизвестных.

14 Сумма и пересечение подпространств.

Очевидно, что для любых двух подпространств U и W векторного пространства V их пересечение U ⋂ W также является подпространством. Это наибольшее подпространство, содержащееся как в U, так и в W.

Определение 1. Суммой U + W подпространств U и W наз. совокупность векторов вида и + w, где и∈U, w∈W.

Это наименьшее подпр-во, содержащее как U, так и W

Определение 4. Суммой U₁ + ... + U_k подпространств U₁,... ,U_k ⊂ V называется совокупность векторов вида и₁ + ... + и_к, где u ∈Ui

Это наименьшее подпространство, содержащее все подпространства U₁,..., U_k.

15 Базисы, согласованные с подпространствами. Теорема о базисе, согласованном с двумя подпространствами, со следствием.

Определение 2. Базис пространства V называется согласованным с подпространством U, если U является линейной оболочкой какой-то части базисных векторов пространстра V

Теорема 1. Для всякой пары подпространств U, W С V существует базис пространства V, согласованный с каждым из подпространств U, W.

Доказательство. Пусть {е1,..., еp } — базис подпространства U⋂W.Дополним его какими-то векторами е_{р + 1}..., е_к до базиса подпространства U и, с другой стороны, векторами е_{к + 1},..., е_{к + l-р} — до базиса подпространства W. (Здесь р = dim U ⋂ W, к = dim U,l =dim W.) Докажем, что векторы e1 ..., ек + l-р линейно независимы. Дополнив их затем до базиса подпро­странства V, мы и получим базис, согласованный как с U, так и с W.

Предположим ,что . Рассмотрим вектор x= .

Из первого представления вектора х следует, что он лежит в U,а из второго — что он лежит в W. Таким образом, х ∈ U⋂W и, значит, x= .

Так как векторы е1,..., е_р, е_к+l ..., е_{к + l-p} линейно независимы, то отсюда следует, что х = 0 и λi= 0 при i= к + 1,..., к + I — р. Далее, так как векторы е1,...,ек линейно независимы, то из равенства 0, следует, что λi=0 при i = 1,..., к. □

Рисунок 2 иллюстрирует это доказательство в случае р = 1, к = l=2.

Следствие. dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U⋂W).

Доказательство. В обозначениях доказательства теоре­мы 1 векторы е₁,..., е_{к +l-p} составляют базис подпространства U + W, так что dim(U+W) = k + l -р. □