52. Жордановы матрицы.

Жордановой матрицей наз. клеточно-диагональная матрица вида , у которой на главной диагонали стоят какие-то Жордановые клетки J1,J2,…,Jk.

Теорема3. Если характеристический многочлен оператора A (t) раскладывается на линейные множители, то сущ. базис пр-ва V, в котором матр. опер-ра Aявляется Жордановой. Доказательство: т.к. (t) раскладывается на лин. Множители, то (сумма от 1 до k)по т.2: каждое корневое пр-во A раскладывается в прямую сумму циклических подпр-в оп. A. В каждом циклическом подпр-ве выберем базис вида (e,Ne,..,N^m-1e), объединим эти базисы и получим базис, в котором м-ца оп. A имеет Жорданову форму.

Следствие. Если оп.Aдействует в конечномерном пространстве V над полем комплексных чисел C, то сущ. базис , в котором матр. оператора Aявл. Жордановой.

Следствие к теореме 3. Любая квадратная матр. с элементами из поля комплексных чисел подобна Жордановой.

53. Минимальный аннулирующий многочлен линейного оператора и его свойства.

Ненулевой многочлен f(A) такой, что f(A) = 0 наз. АННУЛИРУЮЩИМ многочленом оператора A.

Аннулирующий многочлен оп. A наименьшей степени наз. минимальным аннулирующим многочленом оп. A и обозначается m_A(t). Минимальный аннулирующий многочлен оп. A равен минимальному аннулирующему многочлену матрицы этого оператора в любом базисе.! Любой аннулирующий многочлен A ДЕЛИТСЯ на минимальный аннулирующий многочлен этого оператора.

Следствие. Минимальный аннулирующий многочлен определён единственным образом с точностью до постоянного множителя.

Лемма 1. Минимальный многочлен жордановой клетки по­рядка т с собственным значением равен (t — )^m.

Доказательство. Пусть А — линейный оператор, задавае­мый такой жордановой клеткой. Тогда N = A — E — нильпотентный оператор высоты т, т.е.

(А- E)^т = 0, (А- )^т-1 0.

Это означает, что (t— )^m — аннулирующий многочлен, но никакой его собственный делитель не является аннулирующим многочле­ном. Следовательно, (t — )^т — минимальный многочлен. □

Пусть теперь А — произвольный линейный оператор, харак­теристический многочлен f_A которого разлагается на линейные множители. Пусть А,,..., А, — все (различные) корни многочлена f_A. Из леммы 1 и предшествующего ей замечания следует.

Теорема 1. Минимальный многочлен оператора А равен m_A(t)=П(t- _i)^mi , где т_i — максимальный порядок жордановых клеток с собст­венным значением _i в жордановой форме матрицы операто­ра А.

Следствие 1.Жорданова форма матр. A диагональна тогда и только тогда, когда минимальный многочлен этого оператора не имеет кратных корней.

Следствие 2.(теорема Кэли-Гамильтона). f_A(A) = 0, где f_A(t) – характеристический многочлен оператора A.

Действительно, характеристический многочлен оператора делится на минимальный мног. оператора.