48. Теорема о размерности корневого подпространства

Предложение 1. Размерность корневого подпространства равна кратности соответствующего корня характеристиче­ского многочлена.

Доказательство.

V_λ(A) = < V^λ(A)

{е₁,..., е_k} базис пространства V^λ(A) , дополним его до базиса пр-ваV, {е₁,..., е_k,…,е_n}- базиса пр-ваV . V^λ(A)- инвариантно относительно А,т.е. А(V^λ(A)) =< V^λ(A) следовательно матрица А оператора А в выбранном базисе имеет вид

А= ( ), где В — матрица оператора А на подпространстве V^λ(A), С – матрица опер-ра А на подпространстве W = <e_k+1,…,e_n>

V= V^λ(A)+! W

Построим матрицу оператора А в выбранном базисе

А= ( ) В = ( )_k С=n-k

Вычислим характеристический многочлен оператора А

f_A(t) = f_B(t)- f_С(t)= |tE-B| - |tE-C| = (t-λ)^k |tE-C|

Построим по матрице С линейный оператор С действующий в пространстве W, покажем что λ не является корнем хар-го мн-на оператора С, т.е. λ не является собственным значением оператора С

Предположим противное. Тогда существует такой ненулевой вектор е W, что Се = λе. Это означает, что

Ае=λе + и, u=(А- λε)e, где u – корневой вектор,но и е – корневой в-р V^λ(A) W+{0} □

49. Разложение линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.

Лин.простр. V раскладывается в прямую сумму корневых подпространств л.о. A: .

Доказательство: сумма корневых подпространств является прямой, следовательно, размерность прямой суммы равна сумме размерностей всех этих корневых подпространств(т.е. n).Размерность V и размерность прямой суммы корневых подпространств равны. Следовательно, эти пространства совпадают.

50. Нильпотентные операторы и их свойства.

Л.о. N назыв. НИЛЬПОТЕНТНЫМ,если сущ. положительное целое число m такое,что . Наименьшее из таких чисел m наз. ВЫСОТОЙ нильпотентного оператора N.

Пусть N – нильпотентный оператор, действующий в V,e V. ВЫСОТОЙ вектора e относительно оператора N наз. наименьшее положительное целое число m,для которого (ht(e) – обознач. высоты). Высота вектора e относительно НИЛЬПОТЕНТНОГО оператора N совпадает с высотой корневого вектора e оперетора N ,отвечающего нулевому собственному значению.

Лемма Пусть e V – вектор высоты m относительно нильпот.опер. N, тогда вектор e,Ne, e,…, e – ЛНЗ.

Доказательство. Предположим, что имеется нетривиаль­ная линейная зависимость

e+ Ne+ N²e+ …+ N^m-1 = 0.

Пусть —первый из ее отличных от нуля коэффициентов. Тогда, применяя оператор N^m-k-1, мы получаем неверное равенство

^m-1e = 0. □

51. Разложение линейного пространства в прямую сумму циклических подпространств.

Подпростр. < e,Ne, e,…, e>,m=hte относительно N наз. циклическим подпростр., порождённым вектором e относительно нильпотентного опер. N.Векторы e,Ne, e,…, e образуют базис этого подпр-ва.

Теорема2: Пространство V раскладывается в прямую сумму циклических подпространств оператора N.Количество прямых слагаемых в таком разложении равно размерности ядра оп. N.

Доказ-во. Будем доказывать теорему индукцией по п = dim V. При п = 1 утверждение теоремы очевидно. При п > 1 пусть U V — какое-либо (п — 1)-мерное подпространство, содержащее ImN. Очевидно, что U инвариантно относительно N. По предположению индукции

. где U_l,...,U_k —циклические подпространства. Возьмем любой вектор е V - U. Имеем

Nе =u₁ + ... + и_к (и_k U).

Если для какого-то i U_i=Nv_i Nu_i то, заменив вектор е на е — v_i мы можем добиться того, чтобы v_i = 0. Поэтому можно считать, что для любого i либо u_i = 0, либо u_i Nu_i

Если и_i = 0 для всех i, т.е. Ne = 0, то V = <е>

есть разложение пространства V в прямую сумму циклических подпространств.

Пусть теперь Ne 0. Очевидно, что ht Ne = max ht u_i.

Будем считать для определенности, что ht Ne = ht u_i, = m. Тогда ht e = m + 1. Докажем, что V = <e, Ne, N²e, ..., N^m> . Так как u₁ NU₁, то dim U₁, = ht u₁ = m и, значит, dim V = dim U + 1 = (m + 1) + dim U₂ + ... + dim U_k. Поэтому достаточно проверить, что (е, Ne, N²е, ..., N^те) ) = 0.

Предположим, что e, Ne, N²e, ..., N^m

Так как е U, то ₀ = 0. Проектируя оставшиеся члены на U₁ мы получаем u₁+ Nu₁+ ..+ N^m-1u₁ =0,

откуда ₁ = ₂ = ... = _m =0. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть V = — разложение пространства V в прямую сумму циклических подпространств оператора N. Очевидно, что

KerN = КегN|_V1 .. . KerN|_Vk .

Так как dim Кег N|_Vi = 1 при любом i, то dimKer N=k. □