45. Приведение квадратичной формы к главным осям

Следствие

Для любой квадратичной функции q в евкли­довом пространстве существует ортонормированный базис, в котором ее матрица диагональна, т. е.

q(x) = λ_lx² + ... + λ_nx_n² (*)

Нужно понимать, что в формулировке этого следствия речь идет об ортонормированности в смысле скалярного умножения, а не в смысле симметрической билинейной функции , соответствующей q. Однако, поскольку матрица функции в указанном базисе диагональна, этот базис является также ортогональным (но, вообще говоря, не ортонормированным) в смысле функции .

Отметим, что числа λ₁..., λ_n — это собственные значения соответствующего симметрического оператора и, следовательно, определены однозначно с точностью до перестановки.

Выражение (*) называют каноническим видом квадратичной функции q, а нахождение ортонормированного базиса, в котором функция q имеет такой вид, часто называют приведением к глав­ным осям

46. Теорема о полярном разложении линейного оператора, действующего в евклидовом пространстве.

Теорема

Всякий невырожденный линейный оператор в евклидовом пространстве единственным образом представ­ляется в виде произведения положительно определенного сим­метрического и ортогонального операторов

Такое представление линейного оператора называется его поляр­ным разложением.

Доказательствo

Пусть А — невырожден­ный линейный оператор. Предположим, что А = СО, где С — по­ложительно определенный симметрический, а О — ортогональный операторы. Тогда

АА* = CO(CO)*=СОO* С* =COO^-1C=CEC=С².

Следовательно, по лемме оператор С определен оператором А однозначно. Следовательно О – Определен оператором А, тоже единственным образом.

Покажем существование полярного разложения для А

(x, АА*у) = (А*х, А*у)

оператор А невырожден (и, значит, А*тоже) следует, что АА* — положительно определенный симметрический оператор. (х, АА*х)>0 , х!=0 х!=0 => А*х!=0 => (А*х, а*х)>0 , АА* = С² где С - положительно опреде­ленный симметрический оператор, 0 = С^-1A. Тогда А = СО и

АА* =СОО*С = С²,

откуда после сокращения на С получаем, что ОО* =ε, т.е. О — ортогональный оператор.

47. Корневые подпространства

Опр.1

V-конечномерное пр-во над полем C, е – корневой вектор лин. опер-ра А, отвечающего числу λ над полем К, если для некоторого положительного, целого числа m выполняется следующее свойство (A-λε)^me=0. Наименьшее из таких чисел m- наз. Высотой корневого вектора е.

Любой собственный вектор оператора А явл. корневым высоты 1.

Нулевой вектор будем считать корневым высоты 0 по опр-ю.

(A-λε)(А- λε)^m-1e = 0

f = (А- λε)^m-1e => (А- λε)f = 0

Af = λf => λ – собственное знач-е А.

λ- корень характеристического многочлена лин. опер-ра А.

Корневые векторы, отвечающие корню λ, образуют лин. подпространство.

Опр.2

Это подпр-во называется корневым подпространством оператора А и обозначается V ^λ(A).

Действительно

пусть е, f V^λ(A); λμ K => m₁ Z_>0 : (A- λε)^m1e = 0 и m₂ Z_>0 : (A- λε)^m2f = 0

.χe+μf=0

Пусть m = max{m₁; m₂}, тогда (А- λε)^me=0, (А- λε)^mf=0, где (А- λε)^m - линейный оператор такой, что (А- λε)^m (χe+μf)=0

V_λ(A)≤ V^λ(A)

Корневое подпространство V^λ(A) инвариантно относительно оператора А.

Пусть е V^λ(A) => m Z_>0 : (А- λε)^me=0, m-высота вектора е, тогда (А- λε)^me-корневой вектор высоты m-1

Следовательно, V^λ(A) инвариантно относительно оператора А- λε

е V^λ(A); Ae-λe V^λ(A); λe V^λ(A) => Ae V^λ(A) => V^λ(A) инвариантно относительно А.