42. Ортогональные матрицы и их свойства

Согласно общей теории, в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Такой базис, конечно, не единственен. Дадим описание всех ортонормированных базисов , исходя из какого-либо одного ортонормированного базиса { , … , }.

Пусть ( , … , )= ( , … , )C. Тогда матрица скалярного умножения в базисе { , … , } является ортонормированным тогда и только тогда, когда C=E. очевидно, что следующие свойства матрицы С эквивалентны:

1. C=E;

2. = при всех I,j;

3. = ;

4. =Е;

5. = при всех I,j.

Матрицы, обладающие этими эквивалентными свойствами, называются ортогональными.

Заметим, что из равенства C=E следует соотношение detC=±1 (но не наоборот!).

43. Сопряженный оператор, его свойства

Пусть А линейный оператор, действующий в пространстве Е со скалярным произведением (х,у).

Линейный оператор А*, соответствующий функции f_A^T , называется сопряженным оператором по отношению к А. Иначе говоря, сопряженный оператор определяется множеством (А* х, у)=(х, Ау)

Матрицей оператора А* в ортонормированном базисе является транспонированная матрица оператора А

Пусть В = (е₁,…,е_n) – какой-нибудь ортонормированный базис пространства Е. Поскольку равенство (А* х, у)=(х, Ау) верно для любых векторов, то оно верно и для векторов базиса: (Ае_i, e_j) = (e_i, A*e_j).

Свойства:

1. А** = А

Пусть х и у - произвольные векторы. Тогда

(Ах, у) = (х, А*у) = ( ) = ( ) = (А**х, у)

Т.к. это верно для у, то Ах = А**х

Поскольку х – произвольный вектор, то А=А**.

2. (А+В)* = А* + В*.

((А+В)*х,у) = (х,(А+В)у) = (х,Ау+Ву) = (х,Ау)+(х,Ву) = (А*x,y)+(B*x,y) = (A*x+B*x,y) = ((A*+B*)х,у). Отсюда, в силу произвольности векторов х и у, получаем (А+В)* = А*+В*

3. (A,B)* = B*A*

4. A)* = A*

5. (A^-1)*=(A*)^-1, если А – невырожден.

44. Самосопряжённые операторы, ортогональные операторы и их свойства

Линейный оператор А в пространстве со скалярным произведением называется самосопряженным, если А = А*. Так же симметрические операторы называются самосопряженными.

Симметрическим (кососимметрическим) билинейным функциям соответствует так называемые симметрические (кососимметрические) линейные операторы. Они характеризуются тем, что А*=А (А*=-А), а в матричных терминах – тем, что их матрица в ортонормированном базисе симметрична(кососимметрична)

Линейные операторы, для которых А*=А^-1, называются ортогональными. Иначе говоря, оператор А, ортогонален если (Ах, Ау) = (х,у)

(Ах, Ау) = (х,А*Ау) = (х,А^-1Ау) = (х,у), т.е. если А сохраняет скалярное произведение векторов.

Из тождества (х,у)= (|x+y|² - |x|² - |y|²) следует, что оператор А ортогонален тогда и только тогда, когда он сохраняет длины векторов.

(х,у) = (|x+y|² - |x|² - |y|²) = ((x+y, х+у) – (x, х) – (y,у)) = ((х,x+y) + (у,x) + (у,x) – (х, х) – (у,y)) = ((х,х)+(x,y) + (у,x) + (у,у) – (х, х) – (у,y)) = (х,у)

В матричных терминах ортогональные операторы характеризуются тем, что их матрица в ортонормированном базисе ортогональна.

Предложение 1.

Линейный оператор любого из рассматриваемых выше трех типов, т.е. симметрический, кососимметрический или ортогональный, обладает следующим свойством: если подпространство U инвариантно, то и его ортогональное дополнение U^└ инвариантно.

Доказательство.

Рассмотрим наиболее сложный случай ортогонального оператора А. Заметим, прежде всего, что оператор А|_U также ортогонален и, следовательно, невырожден. Поэтому для любого вектора х U найдется такой вектор у U^└. Тогда, используя предыдущие обозначения, получаем для любого х U

(х, Ау) = (Аz , Ay) = (z , y) = 0, откуда следует, что Ау U^└.