39. Метод Лагранжа

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать 0 (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты = 0, i = 1,2,...,n, но есть коэффициент , i j, отличный от нуля (для определённости пусть будет 0).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

f( , , … , ) = ( + 2 + … + 2 ) + f1( , , … , ) = - + f1( , , … , ) = + f2( , , … , ), где = , а через f2( , , … , ) обозначены все остальные слагаемые. f2( , … , ) представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных , , … ,

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что =

Второй случай заменой переменных x1 = y1 + y2,x2 = y1 − y2,x3 = y3,...,xn = yn сводится к первому.

40. Евклидовы пространства: определение и примеры.

Евклидовым (векторным) пространством называется вещественное векторное пространство с фиксированной положительно определенной симметрической билинейной ф-цией.

Обычно это фиксированная билинейная ф-ция называется скалярным умножением и обозначается ( , ).

Пример1. Пространство геометрических векторов с обычным скалярным умножением.

Пример2. Пространство со скалярным умножением (x,y)= + … + , где x=( , … , ), =( , … , ).

Пример3. Пространство [0,1] непрерывных ф-ций на отрезке [0,1] со скалярным умножением (f,g)= .

В евклидовом пространстве определяются длина вектора и угол между векторами таким образом, что в случае геометрических векторов они совпадают с обычной длиной и обычным углом. А именно, длина |x| вектора x определяется по формуле |x|= .

41. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грамма и ее свойства.

Предложение1. Для любых векторов x, y евклидова пространства |(x,y)| |x||y| (1)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны. Неравенство (1) называется неравенством Коши-Буняковского. Д-во. Если y= x, то |(x,y)|=| ||(x,x)|= | | =|x||y|. Если векторы x и y непропорциональны, то они составляют базис двумерного подпространства. Матрица скалярного умножения на этом подпространстве в базисе {x,y} имеет вид .Ввиду положительной определенности скалярного умножения ее определитель должен быть положителен; но это и означает, что |(x,y)| |x||y|. Угол между ненулевыми векторами x и y евклидова пространства определяется по формуле cos = . В частности, угол равен 0 или π тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны; = тогда и только тогда, когда векторы x и y ортогональны.Неравенство Коши-Буняковского является частным случаем более общего неравенства, относящегося к произвольной конечной системе векторов { , … , } евклидова пространства. Матрица G( , … , )= называется матрицей Грамма системы векторов { ,… , }. Теорема. Для любых векторов , … , евклидова пространства справедливо неравенство detG( , … , ) 0, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы , … , линейно зависимы. Д-во. Если = 0, то = 0 при всех j, а это означает, что линейная комбинация строк матрицы G( , … , ) с коэффициентами , … , равна нулю. Поэтому если векторы

, … , линейно зависимы, то detG( , … , )=0. Если же они линейно независимы, то так же, как в случае k=2, доказывается, что detG( , … , ) 0. Базис евклидова пространства, в котором скалярное умножение имеет нормальный вид, называется ортонормированным. Ортонормированность базиса { , … , } может быть выражена любым из следующих эквивалентных условий:

1. Скалярное умножение в этом базисе имеет вид (x,y)= + … + ;

2. Скалярный квадрат в этом базисе имеет вид (x,y)= + … + ;

3. Матрица скалярного умножения в этом базисе (т.е. матрица Грамма G( , … , )) является единичной матрицей;

4. ( , )= ;

5. Базисные векторы попарно ортогональны и имеют длину 1.