36 Положительно определённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Определение . Вещественная квадратичная функция h называется положительно определенной, если q(x) > 0 при x, не равном нулю. Вещественная симметрическая билинейная функция называется положительно определенной, если соответствующая ей квадратичная функция является положительно определенной.

Очевидно, что нормальный вид положительно определенной квадратичной функции есть q(x) = x₁² + … + x_n².

Теорема 3. Число k в нормальном виде (11) произвольной вещественной квадратичной функции есть максимальная размерность пространства, на котором функция h положительно определена.

Аналогично, l есть максимальная размерность пространства, на котором функция h отрицательно определена.

Д о к - в о. Очевидно, что функция q положительно определена на k-мерном подпространстве <e₁,…,e_k>. Пусть теперь U – произвольное подпространство, на котором функция q положительно определена, и W=<e_k+1,…,e_n>.

Следствие (критерий Сильвестра). Вещественная квадратичная функция является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны.

Д о к - в о(=>). Если все угловые миноры положительны, то, в частности, они отличны от нуля, и применение метода Якоби доказывает, что функция является положительно определенной.

Д о к - в о(<=). Обратно, если функция положительно определена, то ее ограничение на подпространство V_k (в обозначениях теоремы 2) также положительно определено и, следовательно, невырожденно. Это означает, что все угловые миноры отличны от нуля. Применяя метод Якоби, получаем, что они положительны.

37. Закон инерции вещественных квадратичных форм

Число k в нормальном виде (11) q(x)= +…+ - -…- (сумма k+l=rk q является инвариантом) произвольной вещественной квадратичной функции есть максимальная размерность пространства, на котором функция h положительно определена.

Аналогично, l есть максимальная размерность пространства, на котором функция h отрицательно определена.

Д-во: очевидно, что ф-ция q положительно определена на k-мерном подпространстве < >. Пусть теперь U – произвольное подпространство, на котором ф-ция q положительно определена, и W=< , … , >. Т.к. q(x) 0 при x W, то U W=0 следовательно dimU K.

Следствие. (закон инерции) Числа k и l в нормальном виде (11) q(x)= +…+ - -…- вещественной квадратичной функции q не зависят от выбора базиса, в котором эта ф-ция имеет нормальный вид. Эти числа называются соответственно положительным и отрицательным индексом инерции квадратичной ф-ции q (а также соответственно симметрической билинейной ф-ции h). Пара (k,l) назыв. сигнатурой ф-ции q (или ф-ции h).

Пример. Квадратичная ф-ция q(x)= путем (невырожденного) преобразования координат приводится к виду q(x)= . Поэтому ее сигнатура равна (1,1).

38. Метод Якоби

Если все угловые миноры матрицы вещественной квадратичной ф-ции q отличны от нуля, то отрицательный индекс инерции ф-ции q равен числу перемен знака в последовательности

1, , , … ,

Д-во непосредственно следует из теоремы 2. Заметим, что в условиях теоремы ф-ция q невырожденна, так что сумма ее индексов инерции равна n.

Следствие (критерий Сильвестра). Вещественная квадратичная ф-ция является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны.

Д-во: Если все угловые миноры положительны, то, в частности, они отличны от нуля, и применение метода Якоби доказывает, что ф-ция является положительно определенной. Обратно, если ф-ция положительно определена, то ее ограничение на люое подпространство (в обозначениях теоремы 2), также положительно определенно и, следовательно, невырожденно. Это означает, что все угловые миноры отличны от нуля. Применяя метод Якоби, получаем, что они положительны (д-во методом от противного).